圆管流道流体的拖曳流动优化方法

因圆管流道壁面的运动引起流体的流动称为拖曳流动(Couette flow)。例如在压延或塑炼过程中两辊筒间隙流道内聚合物熔体的流动是拖曳流动，同轴圆筒黏度计内的流动属于圆环内的拖曳流动。

本小节分析圆管流道流体的拖曳流动，包括内筒旋转的环形导管流道流体的拖曳流动、两同轴圆柱环隙流道流体的轴向拖曳流动两部分。

分析内筒旋转的环形导管流道流体的拖曳流动^[7]。两同轴圆柱环隙流道的内外半径分别为R_o和R_i，管长L，其中L≫R_o/R_i。假设内圆管以角速度Ω转动，产生速度场u＝u_θ(r)e_θ。图6.2.5给出两同轴圆柱环隙流道的几何形状。在两同轴圆柱环隙流道，流体围绕内外柱管的轴以角速度ω做稳定等温的圆周层流，流体旋转是对称的，角速度ω仅是r的函数，与θ和z无关，也没有z方向和r方向的流动。由于流体仅有绕轴的圆周运动，因此流场只有剪切应力τ_rθ＝τ_θr，其他的剪切应力都为零τ_rθ＝τ_θz＝0。

图6.2.5 内筒旋转两同轴圆柱环隙流道的几何形状

根据流体流动的特征，简化柱坐标系的运动方程(3.2.28b)，得到

r方向的分量

θ方向的分量

边界条件： ①u_θ(r＝R₀)＝0 ②u_θ(r＝R_i)＝ΩR_i

积分式(1)，得

积分式(2)，得

式中，C₁为积分常数。

用物理的定义直接确定剪切速率

考虑幂律流体模型，将剪切速率式(5)代入剪切应力

比较式(4)和式(6)，得到

积分式(7)，得到

运用边界条件①和②，确定积分常数C₂，C₃，最后确定流体转动的速度

式中，κ＝R_i/R₀

用式(5)计算转动圆管壁上的剪切速率

维持两同轴圆柱环隙流道流体以角速度ω做稳定等温的圆周层流，须施加扭矩

由式(9)计算内圆柱管壁上的剪切应力，得到

流动指数

对于牛顿流体，内管壁上的剪切速率为

牛顿流体的黏度为

其中

Ω＝2πn/60(www.xing528.com)

式中，Ω为圆筒转转的角速度，rad/s；n为转子转速，r/min。

式(6.2.10)就是同轴圆筒黏度计计算聚合物流体黏度的依据。

电缆涂覆过程可以用环形流道聚合物流体的轴向拖曳流动来分析^[3]。两同轴圆柱尺寸如图6.2.6所示。两同轴圆柱环隙流道的内外半径分别为R_o和R_i，管长L，其中L≫R_o/R_i。

图6.2.6 两同轴圆柱环隙流道轴向拖曳Couette流动几何形状^[3]

假设内圆柱以速度U₀向前移动，在环形流道内，聚合物流体被内圆柱拖曳沿z向运动，设没有外压力和质量力，产生等温层流速度场u＝u_z(r)e_z。根据流体稳态的流动特点，给出假设条件，简化柱坐标系运动方程(3.2.28b)，得到z分量方程

边界条件： ①u_z＝(r＝R₀)＝0 ②u_z(r＝R_i)＝U₀

积分式(1)，得

式中，C₁为积分常数。

对于幂律流体

该流动与平行板库特流动的解是相似的。因为环隙R₀－R_i相当于平行板地间距H，而2πR₀相当于单位宽度“b”。在边界条件下，可求出流场中的物理量，略推导过程，给出速度分布、体积流量和剪切速率结果。

式中，n₁＝(n－1)/n，κ＝R_i/R₀。

在内表面名义切变速率r＝R_i上任一点取值，有

对于牛顿流体的流动，将n＝1，即n₁＝0代入幂律流体的解式(6.2.11)不能得到两同轴圆柱环隙流道轴向牛顿流体拖曳流动的解。求牛顿流体的流动需使用内筒旋转的环形导管流道流体的拖曳流动的推导方法。需要注意的是，由于运动边界不同，边界条件发生了变化。这里略推导过程，直接给出牛顿流体的速度分布、体积流量和剪切速率分别为

为了使圆环导管的解具有与平行板的解有相似的形式，方程式(6.2.13)和式(6.2.16)都含有因子U₀/(R₀－R_i)，“相当于”平板的U₀/H。讨论用平板近似计算圆环截面流速或名义剪切速率时，所带来的误差是有益的。对于平行板的库特流动，流动区域内剪切速率是均匀的U₀/H。在环形截面中，牛顿流体的轴向流动剪切速率是变化的。将方程式(6.2.14)微分后，图6.2.7给出牛顿流体环形截面流动中剪切速率的径向变化，可预示流体的流动行为。

图6.2.7 牛顿流体环形导管库特流剪切速率的径向变化^[3]

由图6.2.7可知，在运动的表面剪切速率达到最大，在固定表面上最小。令κ＝R_i/R₀，当κ<0.8时的剪切速率与κ＝1取均匀值的情况有明显的不同。但是，如果仅需要粗略地估算环形导管中剪切速率的大小，当κ＝0.3，用U₀/(R₀－R_i)可估算实际剪切速率正确的数量级。可见，平行板模型对环形导管的轴向流动提供了一种数量级的估计，只有κ≈1时才是准确的。显而易见，流体的非牛顿性越大，平行板模型与环形导管流动准确解之间的偏差越大。

在电线的涂覆工艺中，在离开口模的某一距离，聚合物固化涂覆在电线上。与运动电线相同速度U₀的涂层质量流量等于拖曳流动流体的质量流量，有

式中，δ为涂层的厚度，ρ为涂层固化后的密度。

将式(6.2.12)代入上式简化，得到描述涂层厚度的方程

或

分析式(6.2.17)可知，涂层的厚度与拖曳速度无关。当然拖曳速度必须合理，不能无限大。因此，对于一个给定的聚合物流体，可以通过改变口模的几何尺寸来改变电线的涂层厚度。

在数值解问世以前，常常使用本章介绍简化方法，近似分析聚合物加工成型工程中复杂的流动问题。对于同时存在压力流和拖曳流的流动，可将压力流和拖曳流叠加。用压力流和拖曳流组合的流动分析一些简单截面流道流体的复杂流动。例如平行板流道流体的压力和拖曳的组合流动、两同轴圆柱环隙流道流体的压力和轴向拖曳组合流动和环形圆管流道流体压力和转动拖曳组合的螺旋流动等^[10]。具体的方法是将压力流流场的物理量与拖曳流动流场的物理量相加，用叠加的物理量分析叠加流场的流变性能。本书没有介绍这方面的内容。

米德尔曼^[3]介绍了不改变口模控制涂层的厚度的方法。把压力降施加到流体上，流体的总流动就是电线拖曳流和压力产生的流动总和。对于牛顿流体拖曳流和压力流是独立的，可以将两个流场的物理量相加。Tadmor^[5]给出假设条件，简化N-S方程，详细求解了两同轴圆柱环隙流道流体压力和轴向拖曳的流动。感兴趣的读者，可参看有关文献。