黏性流体的本构方程探析

在剪切应力作用下，聚合物熔体不但表现出黏性流动，产生不可逆变形，而且表现出弹性，产生可回复的变形，有一个松弛的过程。聚合物加工成型中，弹性变形和松弛过程直接影响制品的外观、尺寸稳定性、内应力。为解决聚合物工程的问题，确定在外部因素作用下物体的响应，确定了描述运动的控制方程还不够，还须确定描述构成物体物质属性所特有的本构方程，才能在数学上得到封闭的控制方程组，在一定的初始条件和边界条件求解该问题。

1687年，牛顿做了一个简单的剪切流动实验，建立了牛顿黏性定律。1831年，有了泊松(Poisson)的第一个完整地说明黏性流体的物理性质的本构方程。纳维(Navier)于1821年和斯托克斯(Stokes)于1845年分别建立了描述不可压缩黏性流体运动方程，即纳维—斯托克斯方程，即N-S方程。1945年，斯托克斯提出了非线性黏性流体的概念，建立了最初的黏性流体的本构模型。直到1945年Reiner研究了方程中应力张量的数学形式，尽管处理的不是十分正确。但是，他的工作标志着现代连续介质力学的开端。“到了20世纪50年代末，形成了非线性黏弹性流体本构方程的基本理论。代表性的人物有Rivillin，Oddroyd，Truesdellhe和Noll等。他们将19世纪形成的全部连续介质力学的概念推广至有限应变和非线性力学响应，开辟了流变学的现代连续介质力学理论。^[1]”

科学家和工程技术人员经过几十年的努力，发展流变学理论，建立了许多聚合物的本构方程，有部分可用来解决实际的聚合物加工问题。聚合物流变学的研究中本构方程具有决定性意义。本构方程是材料的流变状态方程。本构方程是在假设条件下材料物质行为的数学描述。在连续介质力学中，应力表述了力的作用。材料的力学性质用运动与应力的关系来描述。由本构方程描述的材料力学行为是一种理想状态。因此，实际的聚合物不会绝对遵循某个本构方程，材料流变行为会逼近或接近某个本构方程。由于聚合物熔体流变行为的复杂性，不可能用一种通用的本构方程来定量地描述所有的流变现象。我们学习追溯这些本构方程的起源和发展，指出它们之间的相互关系是有益于提高分析问题的能力。

Tadmor和Gogos^[2]遵循Bird等本构方程的系统和明确的分类和描述，将众多的本构方程分成3个经验本构方程族：

① 广义的牛顿流体模型(Generalized Newtonian fluid model，GNF)广泛应用于聚合物加工流体分析，因为它们能很好地描述熔体对剪切速率的依赖性。

② 线性黏弹性模型(Linear viscoelastic model，LVE)广泛用于描述聚合物熔体的动态流变响应低于聚合物线性黏弹性响应的应变极限。所得结果是大分子结构的特征和依赖。这些被广泛用作基于流变学的结构表征工具。(www.xing528.com)

③ 非线性黏弹性模型(Nonlinear viscoelastic model，VE)利用连续介质力学参数以坐标系不变的形式投射本构方程，从而使它们能够描述稳定、动态的剪切流动和拉伸流动。科学家研究这些非线性VE经验模型的目的是开发预测观察到的流变现象的本构方程。

普遍认为，聚合物熔体和溶液的本构方程是一个普遍本构关系的特殊情况。据此，任何时刻流体和任何时刻的应力都取决于整个流体历史中流体元素占据的这一点。因为它不依赖于相邻元素的流动历史，相关性是“简单的”，而一般关系被称为简单流体本构方程。

由于篇幅有限，考虑到本科生学习的基本需求，本书没有全面介绍聚合物本构方程，也没有详细讨论其数学复杂性。仅介绍一些描述黏性流体流变性能常用的本构方程。在Polyflow商业软件包涵了本书介绍的本构模型。

本节归纳介绍黏性流体的本构方程，列举一些常用的本构方程^[1-6]，介绍了本构方程选择的基本原则，分为两小节，包括广义牛顿流体的本构方程、黏弹性流体的本构方程。