确定和判断本构方程的方法介绍

聚合物流体本构方程是聚合物流变学的重要研究内容之一，聚合物流体本构方程不仅丰富了聚合物流变学理论，而且促进了聚合物加工成型理论的发展。由于聚合物熔体流变行为的复杂性，经过科学家和工程技术人员几十年的努力，建立了许多描述聚合物流体流变行为的本构方程，有不少本构方程用于解决聚合物加工成型的问题。但是，至今没有也不可能找到一个本构方程可以定量地描述所有聚合物流体的流变现象。科学家和工程师自己所用的本构方程，只能预测他们感兴趣或研究的具体聚合物流动行为。学习追溯本构方程的起源和发展，指出它们之间的相互关系有益于深入理解本构方程的内涵。

本小节概述本构方程相关的基本知识^[1-6]，包括本构方程建立的基本方法、本构方程的确定基本原理、本构方程的改善和优劣的判断3部分。

本构方程建立的基本方法大致分为唯象性和分子论两种方法。

(1)唯象性法

唯象性法是一种近似的方法。它强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学和高分子物理中关于黏弹性线性本构方程的研究结果，直接给出描写黏弹性流体应力—应变、应变速率间的非线性关系，以黏度、模量、松弛时间等本构方程参数表征材料的特性。唯象性方法一般不关注材料的微观结构。

工程上常用线性黏弹模型，分析黏弹固体、沥青、混凝土一类材料的流变性质。在黏弹性流体的流动中，如果非线性效应与线性效应相比很小的情况下，也可采用线性黏弹模型。

(2)分子论法

分子论法研究材料微观结构对材料流动性的影响，重在建立聚合物大分子链流动的数学模型。用热力学和统计力学方法，将宏观流变性能与相对分子质量、相对分子质量分布、链段等结构参数联系起来。由此可知，首先提出能够正确描述大分子链运动的数学模型是问题的关键。如果确立的一个本构方程与部分实验结果吻合很好，但是，该模型不能反映大分子链状形态特点，这个方程是不能使用的。

根据研究对象的不同，分子论法建立的聚合物流变本构方程还可分为稀溶液理论和浓厚体系理论。

① 稀溶液理论研究聚合物稀溶液流变性能，也称为单分子链运动学或孤立分子链黏弹性理论。

② 浓厚体系理论研究聚合物熔体和浓溶液流变性能，也称为缠结分子链运动学。

近年来，这两部分的理论和实验研究都取得了巨大进展。可喜的是，这两种方法出发点不同，研究的逻辑思路也十分不同，而最终的结论十分接近。由于聚合物材料工程发展的需求，浓厚体系本构方程的研究十分活跃，研究的成果推动了聚合物材料加工流变学的发展。

将一大类材料共性的理想化模式转化为准确的数学表述时，为了保证本构方程理论的正确性，建立材料的本构方程必须遵循以下的基本原理^[1，2]。

(1)流变性确定性原理

流变性确定性原理(Rheological certainty principle)表明，现在时刻任意质点的应力状态仅依赖它的全部运动历史。在时刻t，在x处流体微团X的应力由该微团运动的历史决定

式中，X(t′)表示在t′≤t时间内物体的变形，即运动的历史。应力是全部变形的一个泛函。

式(5.1.1)称为本构映射。该式表示，在时刻t，f将流体微团X的运动历史映射为对称应力张量τ。如果实际坐标x遍取整个流场，时刻t的f值就得出响应于流体运动X(t′)，t′≤t的应力场τ(x，t)。这种泛函形式的表达式使流变性确定性原理不包含“逼近”的性质，只是历史决定现在。在时刻t，流体微团的应力状态由该微团在此以前的全部变形历史确定。应力对运动历史的依赖性，表明物体对它曾经经历的运动有“记忆”能力，或者说，物体的力学行为有历史“遗传性”。可见，这条原理与经典材料理论相反。在牛顿力学的连续性假设下，初始条件t＝0，物体将来和过去的运动就完全决定了。

没有学习过泛函知识的读者有兴趣的话可以阅读有关书籍^[8]。没有时间深入学习的读者可以这样理解泛函的概念，应力张量不是用自变量描述的函数，应力张量是用另外一个函数来描述的函数。也就是说应力张量是函数的函数。

(2)局部作用原理(www.xing528.com)

局部作用原理(Local action principle)表明，时刻t物体内某点的应力状态，仅由该点周围无限小邻域的变形历史单值地确定。该原理保证了应力分布的连续性，也反映了近程的相互作用。这一观念与真实材料中的短程力相一致，而将长期相互作用排除在外。也就是说，这种连续性并不是均一性，物体内各点的应力—应变关系可以不同。

(3)坐标不变性原理

坐标不变性原理(Coordinate invariance principle)表明，本构方程对于运动的参考标架具有不变性。即建立本构方程与坐标系的选择无关。在坐标变换中，本构方程的解析（分量）形式服从坐标变换的定律。在第2章曾学习了坐标变换的基本知识，包括同类坐标框架的平移和旋转，坐标系向量和张量的变化等。由这种变换特性规定了物理量的张量特性，将各种物理量划分为零阶张量（数量）、一阶张量（矢量）和二阶张量。在不同的惯性参考系中，二阶应力张量、应变张量满足坐标变换定律，反映了物质的客观性。而变形梯度张量（应变速率张量）不具备这样的性质。

坐标不变性原理又称为物质客观性原理(Material objectivity principle)。也就是说，物质的性质不随观察者的变化而变化。按照这一原理，两个观察者针对同一物体的同一运动，他们发现的应力是相同的。可以说，一个本构方程所表示的材料行为，应当与观察者的运动无关。这条原理保证了所建立的本构方程与所有已知的基本守恒定律是相容的，这是最具限制性也是最有用的一条原理。

正如Tadmor^[2]指出的：“本构方程必须满足一个物理约束条件，这个约束条件必须满足数学要求：简单的流体关系必须是“客观的”，这意味着它的预测不取决于流体是刚体旋转还是变形。这可以通过建立本构方程中的项来实现。一个是共旋转的框架，跟随每个粒子并随之旋转。另一个是共同变形的框架，它随着流动的粒子平移、旋转和变形。在任何一个框架中，观察者都忽略了刚体旋转。因此，任何一个框架中的本构方程都是客观的，或者正如通常所表达的那样‘服从物质客观性的原则’。两者都可以转化为固定的（实验室）框架，其中出现平衡方程式并获得实验结果。这些转变与从实质框架到固定框架的转变相似，但更为复杂。最后，共旋转本构方程可以转化为共变形方程。”

符合上述基本原理的流体称为“简单流体”或“记忆流体”。从不同方法得出的本构方程都具有某些物理学的不变性，它联系应力张量和流变运动学张量的所有分量，是材料的力学响应的一般描述^[1]。

唯象性和分子论本构方程建立的基本方法大致分为两种方法。唯象性方法强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学和高分子物理中黏弹性线性本构方程的研究结果，直接给出描写黏弹性流体应力—应变、应变速率间非线性的关系。对于非线性效应大的黏弹性材料，为了满足物质客观性原理，必须改善本构方程，还要判断本构方程的优劣。

改善本构方程有以下两条途径：

① 在本构方程中加入应变速度的高阶项，以计入非线性效应。

② 跟随物质点观察其应力和应变随时间变化的规律。首先在运动坐标系建立线性黏弹本构方程，然后由运动坐标系到固定坐标系转换本构方程，转换后得到拟线性黏弹模型，或者直接加入非线性效应的项。

在一定假设条件下，研究了某种材料的分子结构，用分子论方法建立该材料的本构方程。得到的本构方程有一定局限性。需要思考该本构方程是否能推广使用？加入非线性项是否合理？哪个非线性黏弹性模型好？

聚合物工程实践中，工程技术人员必须实验测试材料的流变数据，选择本构方程，用实测流变数据拟合确定本构方程的参数，将实验测试的数据与确定本构方程计算的流变数据比较，判断哪个本构方程更能描述所研究和使用的聚合物材料。

如何选择黏弹性的本构方程，首先要学习了解如何判断本构方程的优劣。可从下面几个方面判断本构方程的优劣：

① 方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了；

② 一个好的本构方程，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预测分析另外一种同类材料的流变性能，预言至今未知可能发生的事实；

③ 理论应有承前启后的功能。一个描写非线性黏弹流体应力、应变、应变速率的本构方程，它应能还原为描写线性黏弹流体的本构关系。

④ 最重要的一点，本构方程经得起正确实验数据的检验。实验数据是判断一个本构方程优劣的出发点和归宿。大量的实验积累越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。

⑤ 根据本构方程的性质和特点判断使用场合的优劣。例如，非线性黏弹性材料就不能使用牛顿流体、幂律等模型。下一节将介绍本构方程选择的基本原则。