工程问题数理模型建立的步骤优化方案

当工程问题确立以后，必须确定描述它的数学物理方程，用合适的方法求解传递过程的方程组，用解合理地解释工程物理现象，用于解决工程的技术问题。用第2章介绍动量、热量和能量定律，建立求解传递过程的控制方程。本小节介绍工程问题数理模型建立的5个基本步骤。

第1步 确立研究的系统和流体流动的类型

包含着确定不变物质的任何集合，称为系统。当分析一个工程问题时，首先确定被研究问题流体流动的类型，给出假设条件简化问题，画出工程系统的略图，列出所有的数据，确定研究的系统。

① 确定研究问题流体运动的类型。建模工作重要的第一步是运用工程判断力推断任何使问题简化的可能性，做出合理必要的简化假设。所谓合理是说简化后的模型能够反映过程的本质，满足应用的需要。所谓必要是为了求解方便和可能。假设条件是对模型的人为限制，在评价模型模拟效果时要考虑简化假设的影响。

②确定系统的因变量与其自变量。由具体问题的类型确定因变量与其自变量。以3.1.1节介绍的流体运动形式、运动空间为标准确定自变量。对于非稳定过程，时间是自变量。实际工作中，常常会把因变量当成自变量。聚合物加工成型中，研究非等温非稳定问题的流场u＝u(q₁，q₂，q₃，T，t)，必须考虑温度的影响，温度就是自变量。对于等温的稳态流场u＝u(q₁，q₂，q₃)，不用考虑温度和时间这两个自变量。

图3.2.1 工程系统举例

(a)搅拌槽系统(b)磨具管系统

例如，对于一个物料搅拌槽，选槽内溶液为系统。因在槽内任一处浓度都均匀，此搅拌槽系统为体积系统，如图3.2.1 (a)所示。

又如一个挤出模具管系统，若x为任意一点至入口距离，系统可选无限小的dx。因速度随位置而改变，此系统为一维分布系统，如图3.2.1 (b)所示。

第2步 建立平衡关系

进行物理量总平衡、特定物质物理量的平衡，由平衡关系建立微分方程。建立微分方程，往往是最难的一步，没有一定的原则可循，应从问题本身考虑，下面介绍一般工程问题的处理方法。首先仔细观察分析要研究的问题。

① 对系统作平衡时，应注意流动和非流动过程。

非流动过程：

流动过程：

② 利用传递过程的定律，建立相应的方程。尽可能地利用成熟的定律或定理，注意区别问题的性质，判别是哪种物理量的守恒，考虑它们的数量关系。对于工程问题，下面列出经常用的有关基本定律和原理。(www.xing528.com)

(ⅰ)质量守恒定律从两个方面考虑系统的质量守恒。一是进入系统的质量减去离开系统的质量等于系统内质量的累积减去系统内生成的质量；二是流入系统的质量流率减去离开系统的质量流率等于系统内质量累积速率减去系统内质量生成速率。用这一定律建立系统的质量守恒方程，即连续性方程。

(ⅱ)动量守恒定律考虑系统的动量守恒。当问题包含有时间因素时，应考虑物理量的速率，如热传导中的传递速率，如吸收与蒸馏的传质速率、化学反应速率，聚合物加工成型过程的动量守恒等。利用动量守恒定律建立速率方程式，即由于流动输出的动量速率减去由于流动输入的动量速率加上累计的动量速率等于作用在控制体上诸力之和。也就是用牛顿第二定律建立系统的动量守恒方程，即流体运动方程。

(ⅲ)能量守恒定律考虑系统的热量守恒。当能量处在一个系统内，由热力学第一定律，即系统的热力学能、动能和位能通量的改变，等于由传导、辐射及反应加给系统的热量通量与系统对外界所做功之差。用这一定律建立系统的热量守恒方程，即能量方程。

(ⅳ)化学物理量的平衡。利用包括反应动力学、化学平衡和相平衡等所有的物理化学基本原理，建立数学物理模型。

(ⅴ)简化已知基本方程建立工程问题适用的模型。利用已知成熟可靠的数学物理方程，将方程简化为自己研究问题的数理模型。如简化流体的纳维-斯托克斯运动方程，得到工程中适用的数学物理模型。

第3步 确定初始条件和边界条件

初始条件考虑和研究对象初始时刻的状态，即在初始时刻物理量的初始状态。通常初始条件是已知的。要注意的是，初始条件给定的是整个系统的状态，而不是某个局部的状态。

对于稳定场问题，u＝u(q₁，q₂，q₃)≠u(t)就不存在初始条件。

给出边界上自变量数值所对应的因变量值，即边界条件。边界条件是考虑工程问题本身所产生的，而不是由数学考虑产生的。同一个基本方程可以描述不同工程问题的传递现象。只有确定了初始条件和边界条件后，所描述的工程传递现象才具有独一无二的形式。换句话说，一个描述工程问题的完整数学模型必须包括基本方程、边界条件和描述某一过程特点的初始条件。

数学上只有给定了初始条件和边界条件，基本方程才能有唯一确定的解。对于常微分方程，边界条件的数目应等于微分方程的阶数。本章的3.3节将详细介绍初始条件和边界条件的确定。

第4步 数学模型的求解

建立数学物理模型时，注意模型的数学一致性。对于多变量的复杂系统，要确定哪些是因变量，哪些是自变量。模型方程建立以后，一定要检查一下方程的数目是否与自变量个数相等。总之要使系统的自由度为零。一定要考虑数学物理模型的可解性，并选择合适的求解方法。解析法给出系统变量的连续函数解，可以准确地分析变量间相互关系。由于工程问题的复杂性，有许多问题不得不使用数值法求解。

第5步 数学模型解的验证

数学物理模型是在假设条件下简化系统过程得到的物理模型的数学抽象，它反映系统过程的本质特征，但它毕竟是一种近似，不可避免地存在一定差异或偏离。数学物理模型的可靠性与精确度除了取决于建模假设偏离真实条件程度外，还依赖于基础数据的准确度和精度，如聚合物工程中物性数据测量的准确度和精度。因此，必须用试验或生产现场数据来考核数学物理模型的解。如果差距太大，则需要修改数学物理模型或校验测试的数据，重复第1步至第4步，逐步完善，使该数学物理模型的解能用于指导工程实际问题。