正交曲线坐标系中场的变化率

为了减少流体流动的阻力，提高设备使用的寿命，工程中常常使用管形和球形设备。数学上就要使用正交曲线坐标系来描述这类问题，使用正交曲线坐标系中物理量的梯度、散度和旋度研究问题。工程中最常用的是柱坐标系和球坐标系。

本小节首先介绍柱坐标和球坐标系，然后介绍场的梯度、散度和旋度的表达式^[7]，包括正交曲线坐标系、正交曲面坐标系场的梯度、散度和旋度两部分。

如果考虑学时数的问题，这部分内容可以不详细讲解，学会直接使用正交曲面坐标系数量场的梯度、矢量场的散度和散度计算公式。

在空间里的任一点M处，各坐标曲线在该点的切线互相正交，相应地各坐标曲面在相交点处的法线互相正交，即各坐标曲面互相正交，这种曲线坐标系称为正交曲线坐标系。如图2.4.12所示的柱坐标系和球坐标系的三条坐标轴不全是直线。

图2.4.12中的三条坐标轴是互相正交的曲线坐标，属于正交曲线坐标系。下面介绍柱坐标系和球坐标系这两种正交曲线坐标系。以q₁，q₂，q₃表示正交曲线坐标，它与直角坐标系有如下关系

图2.4.12 正交曲线坐标系

(a)柱坐标(b)球坐标

讨论正交曲线坐标的弧微分。空间曲线的弧微分用直角坐标表示为

设空间两点有相同的坐标q₂，q₃，而另一坐标q₁相差微量dq₁，两点的距离为

令

代入上式，两点的距离写为

假设有相同的坐标q₃，q₁，而另一坐标q₂两点相差微量的距离dq₂，两点的距离为

假设有相同坐标q₁，q₂，而另一坐标q₃两点相差微量的距离dq₃，两点的距离为

比较式(2.4.46)、式(2.4.47)和式(2.4.48)，写成统一的表达形式

式中， h_i＝h_i(q₁， q₂， q₃)称为拉梅 (G.Lame)系数或度规系数。

例题2.4.10 分别确定柱坐标系和球坐标系的拉梅系数、弧长和体积分。

解：利用柱坐标系、球坐标系与直角坐标系的数学关系求解，如图2.4.12所示。

① 柱坐标系的曲线坐标为

q ₁＝r，q₂＝θ，q₃＝z

与直角坐标系坐标x，y，z的关系为

r，θ，z的变化范围分别是

使用式(2.4.49)，得

同理可求出h₂＝r，h₃＝1。使用式(2.4.50)，得弧长的微分为

柱单元体的单位弧长为

柱单元体的体积为

② 球坐标系的曲线坐标

q ₁＝r，q₂＝θ，q₃＝φ

与直角坐标系的关系为

r，θ，φ的变化范围分别是

使用式(2.4.49)，可求出

h ₁＝1，h₂＝r，h₃＝rsinθ(www.xing528.com)

使用式(2.4.50)，得弧长的微分为

球单元体的弧长为

球单元体的体积为

(1)正交曲面坐标系中数量场的梯度

用上面的知识确定曲线坐标梯度的表达式，假设dq₂＝dq₃＝0，在坐标曲线q₁上数量函数u(q₁，q₂，q₃)的微分为

而

即

同理

可见，数量场u(q₁，q₂，q₃)的梯度在q₁，q₂和q₃增长方向的分量分别等于u在这些方向的变化率，计算变化率时考虑距离的度规系数，得到正交曲线坐标系中哈密顿算子Δ表示为

将柱坐标系的度规系数代入式(2.4.62)，得到柱坐标系中数量u梯度表达式为

同理得到球坐标系中数量u的梯度表达式

(2)正交曲线坐标系中矢量场的散度

在正交曲线坐标系中，矢量A的散度为

应用上式，得到柱坐标系中矢量A的散度表达式为

在球坐标系中，矢量A的散度表达式为

(3)正交曲线坐标系矢量场的旋度

在正交曲线坐标系中，矢量A的旋度公式为

将式(2.3.68)应用到柱坐标系中，矢量A旋度为

在球坐标系中，矢量A的旋度为

利用柱坐标系和球坐标系中散度和旋度的表示式(2.4.66)、式(2.4.67)、式(2.4.69)和式(2.4.70)，分别得到柱坐标系和球坐标系中矢量场A的拉普拉斯表达式

在柱坐标系中，矢量场A的拉普拉斯表达式

在球坐标系中，矢量场A的拉普拉斯表达式

对于曲线坐标系中，对数量函数u求梯度后再求散度，得调和量

运用上式得到柱坐标系中调和量

在球坐标系中调和量

(4)正交曲线坐标系物理量的随体导数

在任意正交曲线坐标系中，给出确定物理量随体导数的算符为

由上式，可确定柱坐标系随体导数的算符式(2.3.31)，为

确定球坐标系随体导数的算符式(2.3.32)，为