矢量场及其通量和散度的数学物理意义

如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理矢量的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个矢量场。矢量场是用矢量函数表示的三维矢量。聚合物工程中常用的矢量场有力场F(x，y，z，t)，流体运动速度u(x，y，z，t)，热流速率q(x，y，z，t)和传质速率等。

本小节从矢量场的几何描述、数学表达和基本运算等几方面来介绍矢量场^[7]，包括矢量线与矢量面、矢量场的通量和散度、矢量场的环量和旋度、三个重要的矢量场4部分。

这里介绍矢量场的数学描述和图形表示。

在矢量场中，分布各点处的矢量A是场中点M的函数A＝A(M)，当取定直角坐标系后，它就成为点M(x，y，z)的坐标函数A＝A(x，y，z)，它的直角坐标表达式为

式中，函数A_x，A_y，A_z为矢量A的三个坐标。假定A_x，A_y，A_z为单值、连续且有一阶连续偏导数的函数。

为了直观地描述矢量场中矢量的分布状态，引入矢量线和矢量面的概念。在矢量线上每一点处，场中每一个点的矢量都位于该点处的切线上。矢量场中每一点均有一条矢量线通过，如图2.4.3所示。例如流速场中的流线，电场中的电力线和磁力线。

图2.4.3 矢量线

例题2.4.2 已知矢量场A( x， y， z)，确定其矢量线的微分方程。

解：设点M(x，y，z)为矢量线上任一点，其矢径为r＝xi+yj+zk，其微分为

dr＝dxi+dyj+dzk

矢径的微分按其几何意义是在点M处与矢量线相切的矢量。根据矢量线的定义，由于dr无限小，故它必定在点M处与场矢量A＝A_x(x，y，z)i+A_y(x，y，z)j+A_z(x，y，z)k共线，即与矢量A(x，y，z)方向一致，有dr×A＝0，即

因此，得矢量场A的矢量线方程

这就是矢量线所应满足的微分方程。求解该方程，可以得到矢量线族。

例题2.4.3 在三维瞬时流动中，速度为u＝u_xi+u_yj+u_zk，确定流速的流线方程。

解：在给定的某一瞬时t，取流场流线上的任一点M，流场中流线上的每一个流体质点的流速方向必定在该点M处与该曲线的切线相重合。由矢量线方程式(2.4.10)，可得流速的流线微分方程

当矢量A的三个坐标函数A_x，A_y，A_z为单值、连续且有一阶连续偏导数时，这族矢量线充满了矢量场所在的空间，而且互不相交。

对于场中任一条非矢量曲线 C上的每一点处仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体构成一个通过非矢量曲线C的称为矢量面的曲面，如图2.4.4所示。在矢量面上的任一点M处，场的对应矢量A(M)都位于该矢量面在该点的切平面内。通过一封闭曲线C的矢量面构成一管形曲面，称之为矢量管，如图2.4.5所示。

图2.4.4 矢量面

图2.4.5 矢量管

这里介绍矢量场的通量和散度数学物理意义，以及散度的基本运算公式。

讨论一个实际的例子，介绍矢量场通量的概念。

例题2.4.4 设有不可压缩流体的流速场u( M)＝u( x， y， z)，求在单位时间内流体向正向穿过S的流量q，即单位时间内穿过此曲面的流体体积流量为q_V＝体积/时间。

解：为了简化问题，假定流速场相对密度为1，如图2.4.6所示，在流场取有一有向封闭曲面S，规定法矢量n指向正向，按习惯总是取其外侧为正向。在S上取曲面元素dS，M为dS上任一点，当dS→0时，速度矢量u和法矢量n近似地不变化，这样单位时间dt内穿过dS流体的流量等于

图2.4.6 曲面元素上的流量

式中，dV为斜体体积，其为柱体高与底面积的乘积。

若以n表示点M处的单位法矢量，dS是点M处的一个矢量，其方向与n一样，其模等于面积dS，有dS＝ndS。用u_n表示速度u在n上投影，这样单位时间dt内穿过dS流体的流量近似地等于以dS为底面积，u_n为高的柱体体积，流量表示为

dq_V1＝u_ndS＝u·dS

在单位时间内向正侧通过整个曲面S的流量用曲面积分表示为

式(2.4.12)的面积分称为流体流动的流量通量，其为数量。

许多学科都使用通量，如物理学中电场的电通量Φ_e和磁场的磁通量Φ_m分别为

Φ_e＝∬_SD_ndS＝∬_SD·dS，Φ_m＝∬_SB_ndS＝∬_SB·dS

式中，D为电场中的电位移矢量，B为磁场中的磁感应强度矢量。数学上把这类积分概括为通量。

(1)通量

通量的定义：设有矢量场A(x，y，z)，沿其中某一有向曲面S的曲面积分

称为矢量A(x，y，z)向法矢量n的方向穿过曲面S的通量。

若矢量场中，有n个矢量，则矢量为，则通量是可叠加的数量，矢量A(x，y，z)向法矢量n的方向穿过曲面S的总通量

以流体流动的流速场u为例说明正通量、负通量和零通量的物理意义。单位时间dt内穿过dS流体的流量等于dq_V1＝u· dS，如图2.4.7所示。dq_V1＝u·dS>0为正流量，u是从dS的负侧穿到dS的正侧，u与n相交成锐角；dq_V1＝u·dS<0为负流量，u是从dS的正侧穿到dS的负侧，u与n相交成钝角。

图2.4.7 流量

(a)正流量(b)负流量

对于总流量q_V＝∮_Sdq_V， q_V>0流出多于流入，如S为一闭合曲面，在S内必有产生流体的泉源 (源)。 q_V<0流出少于流入，在S内有吸入流体的汇 (涵)。 q_V＝0流出等于流入，闭合曲面S内的源和汇二者相互抵消，即无源又无汇。

例题2.4.5 用高等数学面积分知识，计算直角坐标系速度矢量u的通量，即流量。

在直角坐标系中，若矢量u＝u_x(x，y，z)i+u_y(x，y，z)j+u_z(x，y，z)k，面积矢量为

dS＝ndS＝dScos(n，x)i+dScos(n，y)j+dScos(n，z)k＝dydzi+dxdzj+dxdyk

则通量为矢量与面积矢量的面积分，得到

式中，dScos(n，x)，dScos(n，y)和dScos(n，z)分别是dS在Oyz，Oxz和Oxy的平面上投影，即分别是Oyz，Oxz和Oxy平面上的面积元。

因此，通量（流量）可具体写成

(2)散度

由(2.4.16)可以计算速度矢量场u(x，y，z)向正侧穿过闭合曲面S流量q_V的大小和正负值。该式可宏观地描述该流量。但是，无法了解在闭合曲面S通量的分布情况和变化的强弱程度。为了进一步了解源或汇在S内的分布情况及其强弱程度，需要确定闭曲面通量对体积的变化率，引入矢量场散度的概念和计算方法。

散度的定义：若闭曲面S向其围成的空间区域Ω中某点M无限缩小时，速度矢量场u在这个闭曲面上的通量与该曲面所包围空间Ω的体积之比的极限存在，则称此极限为速度矢量u在点M处的散度，记为

由定义式(2.4.17)可知，速度矢量场的散度是一个数量场，它不依赖于坐标系的选择。散度表示在场中一M点处闭曲面通量对体积的变化率，亦即在M点处对单位体积边界上所穿越的通量，其物理意义表示矢量场在M点处源（汇）的强度。

divu＝0的矢量场u为无源场，divu>0的矢量场u为散发通量之正源场，divu<0的矢量场u为吸收通量之负源场。如果把速度场u中每一点的散度与场中的每一点一一对应起来，就得到一个数量场，称为由此矢量场产生的散度场。

在直角坐标系中，矢量场u＝u_x(x，y，z)i+u_y(x，y，z)j+u_z(x，y，z)k在任一点M(x，y，z)处的散度为

由公式(2.4.18)，可得以下推论：

① 奥—高公式可写成矢量形式

② 若在封闭曲面内处处有divu＝0，则

③ 若在场内某些点或区域上有divu≠0或divu不存在，而在其他点上都有divu＝0，则穿出包围这些点或区域的任一封闭曲面的流量都相等，即为一常数。

利用高等数学中学习过的奥—高公式可以证明式(2.4.19)。这里略去证明。

(3)散度的基本运算公式

若C为常矢量，C为常数，u为数量函数，A，B为矢量函数，可用散度定义和函数的运算规则证明以下运算公式^[4]。

① Δ·(C)＝0

② Δ·(CA)＝CΔ·A

③ Δ·( A ± B)＝Δ·A ±Δ·B

④ Δ·(uA)＝uΔ·A+Δu·A

⑤

例题2.4.6 有一由圆锥面x²+y²＝z²和平面z＝H(H>0)围成的封闭曲面S，如图2.4.8所示。设速度矢量u＝u_xi+u_yj+u_zk＝xi+yj+zk组成速度场，分别使用面积分和散度公式计算从S内流出S的流量^[3]。

图2.4.8 圆锥面和平面围成的封闭曲面

解：① 封闭曲面S由z＝H(H>0)的平面S₁和圆锥面S₂组成，使用面积分公式计算流量

在平面S₁上，有(www.xing528.com)

式中，σ₁为S₁在Oxy平面上投影区域。

在圆锥面上，因为u⊥n，有

因此，得到流量

q_V＝πH³

② 用速度场的散度计算流量，因为散度为

所以，使用体积分计算流量，得

这里介绍矢量场的环量和旋度的数学物理意义，以及旋度的基本运算公式。

设力场F(M)，l为场中的一条封闭的有向曲线，τ为l的单位切向矢量，曲线的微分dl＝τdl是一个方向与τ一致，模等于弧长dl的矢量，如图2.4.9所示。在场力F的作用下，一个质点M沿封闭曲线l运转一周时场力F所做的功，可用闭曲线积分表示为

W＝∮_lF_τdl＝∮_lF·dl

图2.4.9 环量的几何表示

数学上把形如上述的一类曲线积分概括成环量的概念。由上式可知，环量是个数量。例如在流速场u(M)中，积分∮_lu·dl表示在单位时间内沿闭路正向流动的环流。

(1)环量

环量的定义：设有矢量场A(x，y，z)沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分

称为此矢量场按积分所取方向沿曲线l的环量。一般规定逆时针方向积分为正。

在直角坐标系中，设速度矢量u＝u_x(x，y，z)i+u_y(x，y，z)j+u_z(x，y，z)k，有弧长

dl＝dlcos(τ，x)i+dlcos(τ，y)j+dlcos(τ，z)k＝dxi+dyj+dzk

式中，cos(τ，x)，cos(τ，y)和cos(τ，z)为l的切向矢量τ的方向余弦，则环量可写成

为了研究环量的强度，引入环量面密度的概念，以速度场为例讨论环量对面积的变化率。在速度场u中一点M处，任取一面积为ΔS的微小曲面ΔS，n为其在点M处的法矢量，曲面ΔS边界线Δl的正向与法矢量n构成右手螺旋关系，如图2.4.10所示。

图2.4.10 边界线的正向与法矢量构成右手螺旋关系

速度场u沿它边界线Δl的正向的环量ΔΓ与面积ΔS之比，当曲面ΔS在保持M点于其上的条件下，沿着自身缩向M点时，若ΔΓ/ΔS的极限存在，则称其为速度场u在点M处沿方向n的环量面密度，即环量强度，记为

在直角坐标系中，设矢量u＝u_x(x，y，z)i+u_y(x，y，z)j+u_z(x，y，z)k，运用高等数学的斯托克斯公式，将曲线积分转化为曲面积分

将上式代入环量面密度定义式(2.4.22)，得到在直角坐标系下环量面密度公式

式中，cosα，cosβ，cosγ为ΔS在点M处的法矢量n的方向余弦。

例如，在流速场u中，为在M点处与法矢量n成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，称为环流密度或环流强度。

环量面密度和数量场的方向导数一样，与方向有关。从场中任一点出发有无穷多个方向，矢量场在同一点对各个方向的环量面密度可能会不同。为了确定其中最大的一个，引入旋度概念。比较环量面密度和方向导数的计算公式，可以看出这两个公式很类似。若令式(2.4.23)中的三个数量和构成矢量R，其表达式为

且在给定处，R为固定矢量，则式(2.3.23)可写成

式中，n＝cosαi+cosβj+cosγk。

式(2.4.25)表明，在给定点处，R在任一方向n上的投影，就给出该方向上的环量面密度。当R的方向与n方向一致时，环量面密度取最大数值。由此可见，R的方向为环量面密度最大的方向，其模为最大环量面密度的数值。此时称矢量R就是速度矢量场u的旋度。旋度是一个矢量场，旋度矢量在任一方向n上的投影，等于该方向上的环流密度。

(2)旋度

旋度定义：若在矢量场u中一点M处存在这样的一个矢量R，在点M处，u沿其方向的环量密度的最大数值正好是|R|，矢量R为矢量u在点M处的旋度，记为rotu＝Δ×u＝R。

旋度矢量的上述定义与坐标系的选择无关。在数值和方向上，旋度矢量给出了最大的环量面密度。在直角坐标系中，旋度计算式为

使用式(2.4.26)，将速度场的斯托克斯公式可写成速度矢量形式，有

对于二维平面，速度场中格林定理表达式为

(3)旋度的基本运算公式：

若C为常矢量，C为常数，u为数量函数，A，B为矢量，可用旋度定义和函数的运算规则证明以下运算公式^[4]。

① Δ×C＝0

② Δ×(CA)＝CΔ×A

③ Δ×(A ±B)＝Δ×A ±Δ×B

④ Δ×(uA)＝uΔ×A+Δu×A

⑤ Δ·(A×B)＝B·(Δ×A)－A·(Δ×B)

⑥ Δ×(A×B)＝(B·Δ)A－(A·Δ)B+A(Δ·B)－B(Δ·A)

⑦ Δ(A·B)＝(A·Δ)B+(B·Δ)A+A×(Δ×B)+B×(A×Δ)

⑧ Δ×(Δ×A)＝Δ(Δ·A)－(Δ·Δ)A＝Δ(Δ·A)－Δ²A

⑨ rot(gradu)＝Δ×(Δu)＝0

⑩ div(rotA)＝Δ·(Δ×A)＝0

工程中常用无旋场、无源场和调和场来描述流体流动的动量、传热和扩散等问题。这里仅介绍这三个场的定义和相关知识，不展开介绍。有兴趣的读者可参看有关文献^[7,8]。

(1)无旋场

定义：若有速度矢量场u(M)，在其所定义的区域里的各点的旋度都等于零，即rotu＝Δ×u＝0，则该矢量场称为无旋场，也称为有势场或保守力场。

由斯托克斯公式的矢量式(2.4.27)，将曲线积分化为面积分，得到

这个事实等价于曲线积分与路径无关，其积分值只取决于积分的起点M₀(x₀，y₀，z₀)和终点M(x，y，z)的位置。大多数聚合物加工成型过程，聚合物流体流动是层流，因此流场是无旋场。

(2)无源场

定义：设有矢量场u(M)，在其所定义的区域里各点的散度都等于零，即divu＝0，该矢量场称为无源场，也称为管形场。

由矢量场的旋度定义很容易证明任何矢量场的旋度所构成的矢量场都是无源场，有Δ·(Δ×u)≡0。矢量场为无源场的充要条件，即在其所定义的区域里对任何闭合曲面的通量等于零。由奥—高公式可知

此式表明无源场在其所定义的区域里，对任何闭合曲面的流量都等于零。例如当不可压缩流体流过管子时，通过任何截面流体的流量都应相等。

例题2.4.7 设管形速度场u所在的空间区域是面单连域，在场中任取一个矢量流管，由流线所组成管形曲面如图2.4.11所示。假定S₁与S₂是它的任意两个横断面，其法矢量n₁与n₂都朝向速度矢量u所指的一侧，则有

图2.4.11 矢量管

上式表明，在无源场所定义的区域里取定任意的有向闭合曲面，无源场的面积分只取决于曲面的边界，与曲面的形状无关。在讨论聚合物口模流动时，用到这个概念。

(3)调和场

定义：如果在速度矢量场同时有divu＝0和rotu＝0，则称此速度矢量场u为调和场。亦即调和场是既无源又无旋的速度矢量场。

平面调和场是指既无源又无旋的平面矢量场。与空间调和场相比，它具有某些特殊性质。当研究对象在某一维尺度特别的大，大于另外二维的尺度，也可以说，当研究对象某一维边界的影响可忽略不用考虑时，该问题可简化为平面问题。由于工程中很多问题可以简化为二维问题，在工程中常用到平面调和场。

以一个二维不可压缩流体的平面流动为例，u＝u_xi+u_yj为无源无旋的调和场。由于，即有。由此式得到流线微分方程(stream line equation)式(2.4.11)

流线是同一时刻不同质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的运动方向。流线有以下特点：

① 在某一给定时刻t，流场中任一空间点都有一条流线流过，流场中的流线是曲线族。流线不相交，即流体不能穿过流线流动；

② 非稳定场中任一空间点的流速大小和方向都随时间改变，流线和迹线不重合。但是，稳定场中任一空间点处只能有一条流线通过，流线和迹线重合；

③ 流线疏密表示流速大小，流线密处流速度大。绘出流线图，即表示了流速场。

流体力学中，求解不可压缩流体平面调和速度场u的问题可以转化为求解流函数Ψ(x，y)和速度势Φ(x，y)，u未知数的数目由3个减少到一个Ψ(x，y）或Φ(x，y)。由于在数学物理方程中，拉普拉斯方程研究得比较透彻，给出确定的边界条件，函数Ψ(x，y)和Φ(x，y)是可解的。这里不展开介绍。有兴趣的读者可阅读参考文献，学习拉普拉斯方程的求解方法^[7]。在聚合物加工成型过程中，描述聚合物熔体的流动将用到速度场和流线的数学描述。