物理量的质点导数简析

在工程中，常常需要研究速度场、压力场、密度场等物理量随时间和空间位置的变化。若场内函数不依赖于矢径r则称为均匀场；反之称为不均匀场。若场内函数不依赖于时间t则称为定常（稳定）场；反之称为不定常（非稳定）场。工程中必须进一步考察运动中的流体质点所具有的物理量N对时间的变化率，例如速度、压强、密度、温度、质量、动量、动能等对时间的变化率为

该变化率称为物理量的质点导数或随体导数。

本小节介绍物理量的质点导数^[6,7]，包括拉格朗日法和欧拉法的质点导数、流场各物理量的质点导数、物质积分的随体导数3部分。

(1)拉格朗日法的质点导数

在拉格朗日法中，任一流体质点(a，b，c)的速度对于时间变化率就是这个质点的加速度

(2)欧拉法的质点导数

在欧拉法中，物理量是空间坐标q₁，q₂，q₃和时间t的函数，以速度u＝u(q₁，q₂，q₃，t)为例，它对于时间的导数只表示在固定空间点q₁，q₂，q₃上流体的速度对时间的变化率，而不是某个确定的流体质点的速度对于时间的变化率。

例题2.3.3 用欧拉法来确定流体质点的速度对于时间的变化率。

解：设在t时刻空间点P(x，y，z)上，流体质点速度为u_P＝u(x，y，z，t)，经过时间间隔Δt之后，此流体质点位移一段距离后uΔt，从而占据了P′(x+u_xΔt，y+u_yΔt，z+u_zΔt)点。P′点上这个流体质点速度应为

u _P′ ＝u(x+u_xΔt，y+u_yΔt，z+u_zΔt，t+Δt)

经过Δt时间间隔后，这个流体质点的速度变化了Δu，计算如下

Δu＝u_P′－u_P＝u(x+u_xΔt，y+u_yΔt，z+u_zΔt，t+Δt)－u(x，y，z，t)

用泰勒公式展开上式右侧，并略去高阶小量，得

对速度的增量与时间增量比值求极限，得到该质点的加速度为

用矢量运算符，上式可表示为

欧拉法表示流体质点的物理量对于时间变化率的物理意义。在t时刻流体质点M，从点A(x，y，z)以速度u(x)＝u_x(t)i+u_y(t)j+u_z(t)k携带着某个物理量N(x，y，z)在流场中运动。t+Δt时刻流体质点M到达点B(x+Δx，y+Δy，z+Δz)。

因为流场的不定常性和非均匀性，质点M所具有的物理量N有以下两种变化：

① 时间过去了Δt，由于场的不定常性，速度将发生变化；

② 与此同时M点在场内沿迹线移动了MM′，即空间距离Δs＝Δxi+Δyj+Δzk，由于场的不均匀性也将引起速度的变化。

介绍用多元函数求导法则确定质点导数的方法。由于物理量N[x(t)，y(t)，z(t)，t]是多元函数，可以直接运用高等数学的多元函数求导法则，得到质点导数的公式

写成矢量形式

式中，称为物理量N的质点导数（随体导数）。

① 称为当地导数（局部导数或时变导数），其反映了流场不定常性，表示了质点无空间变位时，物理量对时间的变化率。

② (u·Δ)N称为迁移导数（位变导数），其反映了流场的不均匀性。表示了质点处于不同位置时，物理量对时间的变化率；

式(2.3.26)对任何矢量和任何数量都是成立的。对压力场，压力的质点导数为

对密度场，密度的质点导数为

对速度场，速度的加速度是质点导数式

上式实际上就是欧拉法表示的质点加速度的矢量式。

由上两式可见，用一个公式表示数量场的质点导数，而矢量场的质点导数有3个分量。以直角坐标系中速度场u(x)＝u_xi+u_yj+u_zk为例，确定质点导数的算符为

得到速度质点导数（随体导数）的三个分量

在任意正交曲线坐标系中，得到柱坐标系确定质点导数的算符为(www.xing528.com)

在球坐标系确定质点导数的算符为

在下一节介绍任意正交曲线坐标系的相关知识。

在欧拉法的流场中，常常需要考察由流体微团组成的物质线、物质面和物质体上物理量的变化。在场论和张量中，曾介绍了一些由流体微团组成的物质线、物质面和物质体上的物理量。例如，在物质线上定义的速度环量，在物质面上定义的速度通量，在物质体上定义的质量、动量等。它们也都是空间和时间的函数，随着时间的变化，连续介质的物质线、物质面和物质体不断改变自己的位置和形状，并维持其连续性。因而，在这些流动的几何体上，定义的物理量也在不断的改变其数值。时间和空间改变的两种因素都将使速度环量、速度通量、质量、动量等物理量随时间不断改变其值。描述这些物理量变化的量就是物质积分的随体导数．

聚合物流变学描述聚合物流体的变形要用到物质积分的随体导数。有必要介绍线积分、面积分和体积分的随体导数。学习了流体微团运动速度的分解有关知识，比较容易讨论线积分、面积分和体积分的随体导数，这里没有严格的推导，读者可参阅有关文献[6]。

本小节介绍物质积分的随体导数，包括线段元、面积元和体积元的随体导数与线积分、面积分和体积分的随体导数两部分。

(1)线段元、面积元和体积元的随体导数

为了和随体导数、偏导数的符号区分，下面用线段元δr、面积元δS和体积元δV讨论随体导数，其中δ是对空间的微分。取一由流体微团组成的线段元δr＝r－r₀，它的随体导数为

由式(1)可见，线段元δr的随体导数等于同一时刻内两点间速度之差。若速度u是x，y，z的函数，有

将式(2)代入式(1)，得到线段元δr的随体导数为

通过封闭曲面S的速度通量∯u·dS等于体积∂V的变化率，有

得到体积元的随体导数为

推导面积元的随体导数。任取面积元δS，选不与垂直的物质线段元δr为母线，并与δS组成体积为δV的柱体，于是

对式(2.3.35)的两边取随体导数，得

或

利用式(2.3.33)、式(2.3.34)和式(2.3.35)改写式(3)，得到

由于δr是任取的，式(4)括号中的式子可等于零，得到用张量表示的公式

再整理上式后，得到用张量和矢量表示面积元的随体导数，分别为

(2)线积分、面积分和体积分的随体导数

利用矢量运算的知识，将物质线积分直接求随体导数，同时考虑线积分的随体导数的两个变化，其一，当时间改变时，速度矢量发生变化；其二由流体微团组成的流动封闭曲线在运动规程中也不断地改变其形状，用下式表示变化

考虑式(1)中速度是单值函数，有∮_lδ·u²/2＝0，将它代入到式(1)，得到物质线积分的随体导数为

对面积分求随体导数，同理得到物质面积分的随体导数，有

运用奥—高将面积分化为体积分的公式，将面积元的随体导数式(2.3.36b)代入式(2)的第2项，得到用矢量表示的面积分的随体导数

参照式(2)，对于任一数量函数φ的物质体积分的随体导数

将定义物理量质点导数（随体导数）公式(2.3.26)

定义任一数量函数φ，有，将其代入式(3)的被积函数中，有

得到物质体积分的随体导数

也称物质体积分的随体导数为输运公式。

使用奥—高公式，将式(2.3.39a)被积函数体积分的第二项化为面积分，得到物质体积分的随体导数的另一种形式

对于任一矢量A体积分的随体导数，有