张量的基本运算：加减乘除和求导

第3章将介绍流变学中应力张量和应变张量，要运用张量的基本运算。本小节没有具体推导张量运算的公式，仅给出了张量基本运算的定义^[7]。张量的基本运算包括张量相加减、数量与张量相乘、矢量与张量点积、张量与矢量点积、张量与张量点积5部分。

(1)张量相加减

定义：张量T与张量S之和或差是以(T_ij±S_ij)为分量的张量，即

由定义可知，张量的加法服从交换律和结合律。上述定义可推广到多个张量的相加减。

(2)数量与张量相乘

定义：数量u与张量T的乘积为以uT_ij为分量的张量，即

例题2.2.4 证明任一张量可分解为对称张量与反对称张量之和，该分解是唯一的^[4]。

证明：设有任一张量T、T_c为其共轭张量，按照T＝S+A分别作张量S、A为

S＝(T+T_c)/2，A＝(T－T_c)/2

则

S＝S_c，A_c＝－A

这说明S为对称张量，A为反对称张量。这就证明了这种分解的可能性。

再证这种分解的唯一性。假设T＝S′+A′，式中，S′为新的对称张量，A′为新的反对称张量。取上式两边的共轭张量，得

则(www.xing528.com)

这与假设相矛盾，可见按命题要求的分解是唯一的。

(3)矢量对张量点积

定义：矢量a对张量T的点积为矢量

现在证明a·T为矢量。将坐标系Ox₁x₂x₃转动成为后，将矢量a和张量T的变化式代入式(2.2.16)的变换式中，有

上面的结果符合矢量的变换规律，故a·T是矢量。从定义可知矢量对张量的点积服从结合律。矢量对张量的点积常用来表示通过面元的矢量，下一节将介绍。

(4)张量对矢量点积

定义：张量T对矢量a的点积为矢量

同样可以证明，T·a为矢量。从定义可知张量对矢量的点积服从结合律。

(5)张量对张量点积

定义：张量T与张量R的一次点积为张量

读者自己可以证明T·R服从张量变换规律。从定义可知张量与张量的一次点积服从结合律，不服从交换律。

定义：张量T与张量R的二次点积为数量

用张量的定义可证明T∶R为坐标系变换的不变量，即为数量。本节没有介绍矢量对张量的叉乘、张量对矢量的叉乘。有兴趣的读者可参考有关书籍。