矢量函数的基本运算详解

由于一个矢量函数和三个有序的数量函数构成一一对应的关系。由此可知，矢量函数导数和积分的定义与数量函数的导数和积分的定义相类似，可将数量函数中的一些导数和积分运算的法则用于矢量函数导数和积分的运算。本小节不详细地讨论，仅给出导数和积分的基本定义、几何意义和常用的运算公式。

本小节介绍矢量函数的基本运算，包括矢量函数的导数和积分、数量和矢量的变换两部分。

(1)矢量函数的导数

矢量函数A(t)对数量t导数定义：矢量A(t)在点t的某一邻域内有定义，并设t+Δt也在这邻域内，若A(t)对应于Δt的增量ΔA与Δt之比，在Δt→0时，其极限存在，则称此极限为矢量函数A(t)在点t处的导数，简称导矢量，记作或A′(t)，即

在直角坐标系中，若矢量函数A(t)＝A_x(t)i+A_y(t)j+A_z(t)k，且函数A_x(t)，A_y(t)和A_z(t)在点t可导，则求矢量函数的导数归结为求三个数量函数的导数，即有

或写为

导矢量的模为

如图2.1.3所示，曲线l为矢量函数A ( t)的矢端曲线，是在l的割线上的一个矢量。当Δt>0时，其指向与ΔA一致，指向对应t值增大的一方；当Δt<0，其指向与ΔA相反，指向对应t值减少的一方。在Δt→0时，割线MN绕点M转动，割线上的矢量的极限位置是在以点M处的切线上。

图2.1.3 导矢量的几何意义

导矢量A′(t)不为零时，导矢量的几何意义是在点M处矢端曲线的有向切线，其方向恒指向对应t值增大的一方，如图2.1.3所示。

如果导矢量A′(t)可导，再求它的导数，便得到矢量函数A(t)的二阶导数。可以推广到高阶。对于二阶以上的高阶导数，也有类似于式(2.1.7)的公式。例如

若在t的某个范围内，矢量函数A＝A(t)，B＝B(t)和数量函数u＝u(t)可导，可用类似于微分中数量函数证明方法和矢量的基本运算来证明下列公式成立。

① (C为常数)，特例(C为常数矢量)

②

③

④ ，特例，式中，A²＝A·A

⑤

⑥ 若A＝A(u)，u＝u(t)，则

用矢量函数A(t)的导数A′(t)，可确定矢量函数A(t)在t处的微分dA也是矢量，而且和导矢量A′(t)一样，也在点M处与A(t)的矢端曲线l相切。当dt>0，dA与A′(t)方向一致；当dt <0，dA与A′(t)方向相反，如图2.1.4所示。

图2.1.4 矢量dA的几何意义

微分dA的表达式为

微分dA模为

直角坐标表达式为

矢量函数A(t)看作其终点M(x，y，z)的矢径函数x＝A_x(t)，y＝A_y(t)，z＝A_z(t)

r＝x(t)i+y(t)j+z(t)k

其微分为

dr＝dxi+dyj+dzk

其模为

在规定了正向的曲线l上，取定一点M₀作为计算弧长s的起点，将l的正向取作s增大的方向，在l上任一点M处，弧长的微分是

例题2.1.2 确定的几何意义^[3]。

解：以点M为界，当ds位于s增大一方时取正号；反之取负号，如图2.1.5所示。(www.xing528.com)

图2.1.5 曲线l的弧微分

|dr |＝|ds|

就是说，矢径函数r微分的模等于其矢端曲线弧微分的绝对值，因此有

整理上式，即得

由上式可知导矢量的几何意义，即矢径函数对其矢端曲线弧长s的导数在几何上为一切向单位矢量，恒指向s增大的一方。

例题2.1.3 说明导矢量的物理意义^[3]。

假定质点在时刻t＝0时位于点M₀处，经过时间t后到达点M，其间质点在曲线l上所经过的路程为s。图2.1.6给出质点M的运动轨迹。点M(x，y，z)的矢径r显然是路径s的函数，而s又是时间的函数，矢径r(s)＝r[s(t)]是t的复合函数。

图2.1.6 质点M的运动轨迹

由复合函数求导公式可得

式中，的几何意义是点M处一个切向矢量，指向s增大的一方；，是路程s对时间t的变化率u，即表示在点M处质点运动的速度大小，u为质点M运动的速度矢量。

矢径的二阶导矢量a＝r″＝u′是质点M运动的加速度矢量。

(2)矢量函数的积分

数量函数积分的基本性质和运算法则对矢量函数仍成立。矢量积分时，分别对矢量的每个分量积分。本小节不作详细介绍，仅分别给出矢量函数的定积分和不定积分的基本运算公式

数量是在空间没有取向的物理量。它的基本特征是，只需要一个数表示，当坐标系转动时，这个数保持不变。例如质量、密度、温度和电荷等当坐标系转动时，它们的数量保持不变。矢量是在空间有一定取向的物理量。它的基本特征是，需要3个数量分量来表示，当坐标系转动时，这3个数量按一定的规律变换。例如压力和速度等矢量，当坐标系转动时，其矢量的3个数量随之变化。但是，任何矢量的模和方向在坐标变换时保持不变。下面介绍矢量变换的规律。

例题2.1.4 如图2.1.7所示， Ox₁x₂x₃为原来的坐标系Σ，为转动后的坐标系Σ′。推导描述矢量变换规律的数学表达式。

图2.1.7 坐标的变换

解：把直角坐标轴记为x₁，x₂，x₃轴，把矢量的角码记为1，2，3，把单位矢量写为e₁，e₂，e₃。用β_ij表示轴相对于x_j轴的方向余弦，θ_ij表示轴与x_j轴的夹角，则cosθ_ij＝β_ij。

设矢量a在Σ系的分量为a₁，a₂，a₃，在Σ′系的分量为，，则

式中，

同理可得

将上述三个变换式统一写为

如果约定以重复的角码作为求和的标志，可以省去求和符号，简写上式为

式中，是两个坐标系中不同坐标轴夹角的余弦，即方向余弦，称为变换系数，其第一个指标表示新坐标，第二个指标表示旧坐标。即i为自由标，j为哑标。

运用空间解析几何知识可以证明式(2.1.15)的变换系数β_ij满足如下的条件

式中

δ_ij称为克罗内克符号，即δ符号。

如果假设Σ′系为原来的坐标系，Σ系为转动后的坐标系，可得类似的推理

式(2.1.18)称为变换式(2.1.16)的反变换。事实上，变换与反变换是相对的。

式(2.1.18)也可以写成矩阵形式

式(2.1.19)称为三维笛卡尔基的旋转矩阵，它描述了从一个笛卡尔基变换到另一个笛卡尔基的结果。