斜向椭圆余弦波的实例演示

对于斜向椭圆余弦波的验证实例，除斜向的波浪传播方向外，采用与第5章5.2.2中波浪水槽实验相同的波况条件：水深h=0.4m，波浪周期T=2.3s，选取三种不同波高H=0.12m、0.16m及0.20m，体现不同非线性特性。波浪的传播方向选取为α=45°。

为求解Xsw（y，t），同式（6.24）一样，采用式（6.23）的斜坡函数fr（t）对式（6.18）中U（x，y，t）和V（x，y，t）进行修正，得到

式中，U（x，y，t）和V（x，y，t）的表达式如下：

其中η（x，y，t）根据第3章介绍的椭圆余弦波理论得到下列形式的表达式：

求解式（6.26）得到Xsw（y，t）之后可根据式（6.19）进行色散修正以消除浅水条件限制。

应用显式中心差分格式对式（6.26）进行离散并进行数值求解，空间步长取为dy=Ly/40（波长L见表5.1），时间步长取为dt=T/100=0.023s，选取ωc=2π/30Hz和Tr=5T。DHI水力实验室的三维造波机由36块造波板组成，单片推板的宽度为0.5m。为了与该宽度吻合得到相应的控制信号，采用样条函数插值的方法（spline）将空间步长d y转换至0.5m。以波高H=0.12m为例，色散修正后预期的造波板运动位移如图6.6所示。图6.7给出了H=0.12m条件下色散修正前后Xsw（Ly，t）和X（Ly，t）之间以及Xsw（y，T）和X（y，T）之间的比较，色散修正的影响微乎其微，这与椭圆余弦波造波理论一致。

图6.6　H=0.12m条件下预期的造波板运动位移X（y，t）（dy=0.5m，dt=0.023s）

图6.7　H=0.12m条件下Xsw和X的比较

对于双信号模式，利用衰减模态修正得到预期的波面高程ηI，0（y，t）。图6.8显示了H=0.12m条件下的ηI，0（y，t）。H=0.12m条件下、η（x0，y，t）以及衰减模态之间的比较通过y=Ly处、η（x0，Ly，t）和的时间序列，以及t=T时刻、η（x0，y，T）和的剖面之间的比较来体现，如图6.9所示。图6.9中可见衰减模态部分的波面高程比行进波部分的波面高程小很多，并且两者之间存在90°的相位差。

图6.8　H=0.12m条件下的ηI，0（y，t）（dy=0.5m，dt=0.023s）(https://www.xing528.com)

物理模型实验在DHI水力实验室的近岸波浪水池中进行，电伺服3D推板式分段造波机由Y1～Y36共36块造波板组成，相邻推板之间由垂直的铰链连接，由此决定了板前的线性分段特性。单片推板的宽度为dy=0.5m，高度为1.2m，最大推程为0.6m。相邻推板之间允许的最大造波板运动位移差为d X=0.1m。造波机由DHI 3D AWACS[4，5]控制系统对造波进行控制，该系统与二维的控制系统一样提供了三种不同的控制模式：定位模式（position mode）以及包括单信号模式（single mode）和双信号模式（dual mode）的两种主动吸收模式。物理波浪水池的x方向有效长度为8.5m，y方向有效宽度为19.5m。波浪的下游边界均布置有被动吸收装置，波浪上游沿x方向的边界设置导水墙，图6.10所示为等水深物理波浪水池平面布置图，图6.10中同时标出了采集波面数据的四个浪高仪在水池中的位置（用Gauge1～Gauge4表示）。

首先，应用三维线性造波理论采用定位模式对两种波况（H=0.12m、0.20m）进行实验作为参考，图6.11给出了水池内四个测点处测量的波面高程时间序列与流函数波理论解（SF theory）的比较。对于波向为α=45°的斜向波，Gauge1和Gauge3具有相同相位，而Gauge2和Gauge4相位相同。需要说明的是，为了便于比较，在图6.11及后续斜向规则波相关的图中不考虑相位差，同时对测量的波面高程结果进行零均值的处理。图6.11中可见，由于应用线性造波理论，非线性波的生成效果非常糟糕，尤其对于H=0.20m的波况，在波浪水池中甚至出现了波浪破碎的现象。

图6.9　H=0.12m条件下（y，t）、η（x0，y，t）和（y，t）的比较

图6.10　物理波浪水池平面布置图

（注：水池的坐标仅用于设备和物理模型实验）

图6.11　应用三维线性造波理论采用定位模式的测量结果与流函数波理论解的比较

其次，应用上述三维椭圆余弦波的波浪生成控制信号，分别采用三种不同控制模式进行斜向波的物理模型实验。对于H=0.20m波况，当考虑主动波浪吸收时，无论单信号模式或双信号模式，相邻造波板之间最大的运动位移差超出了设备的限定值0.1m，因此无法采用这两种模式，只进行了定位模式的实验。图6.12给出了H=0.12m波况三种不同控制模式和H=0.20m波况定位模式的波面高程测量结果分别与流函数波理论解（SF theory）的比较。与应用三维线性造波理论相比，波浪生成的效果改善很多。三种不同控制模式的结果比较可见，双信号模式和定位模式生成的斜波比单信号模式的结果要好。这两种模式的测量结果与流函数波理论解总体吻合良好，再现的波浪在波峰时与理论解吻合的程度比波谷时更好一些。

图6.12　应用三维椭圆余弦波理论的测量结果与流函数波理论解的比较

对三维椭圆余弦波理论的测量结果与流函数波理论解相比较的误差进行定量分析，图6.13显示了不同波况、不同控制模式条件下四个测点处测量结果的相对误差ErrRMS和ErrH。从误差分析结果可见，与单信号模式相比，双信号模式和定位模式优势明显。然而总体上斜向椭圆余弦波的实验效果并不像第5章5.2.2中描述的波浪水槽中椭圆余弦波的实验效果那么好。

图6.13　应用三维椭圆余弦波理论的测量结果相对误差