实例：非线性浅水波模拟

接下来采用非线性浅水波对特定统一造波理论的应用进行实验验证。在复合模型中，椭圆余弦波将作为数学模型的输入条件。

数值波浪水槽的长度为160m，平底水深h=0.4m，波浪周期T=2.3s。为了对不同非线性特性的波浪进行测试，选取三种不同的波高条件H=0.12m、0.16m和0.20m进行波浪水槽实验。表5.1给出了根据椭圆余弦波理论得到的与波高对应的波长、相对水深kh及Ursell数。数值模拟的时间步长取为dt=0.01s，空间步长取为dx=0.1m。

表5.1　h=0.4m，T=2.3s的波浪条件（依据椭圆余弦波理论）

由于数值模拟造成的误差导致数值计算结果的周期性难以保证，因此对数值计算的波面高程进行周期性及零均值的修正，修正方式如下：

其中，N为数值模型中模拟的波浪周期个数。

同样对P通量进行相同的周期性及零均值的修正得到（x，t）。图5.8给出了H=0.20m条件下MIKE 21 BW数值计算的波面高程修正值（x，t）（BW）与椭圆余弦波理论解（CN）的比较。因为流函数波浪理论[6，7]对于完全非线性波具有更高的准确性，图5.8也给出了与流函数波理论解（SF）的比较。

图5.8　H=0.20m条件下波面高程的比较

由于采用了椭圆余弦波作为MIKE 21 BW数值计算的输入条件，数值计算解与椭圆余弦波理论解之间的差异显示了数学模型引起的误差。椭圆余弦波理论解与流函数波理论解之间的差异也比较明显，在三种不同解中，流函数波的波峰值和波谷值均最大，显示出最强的非对称性特征，由此表明其非线性最强；数值计算解的波峰值和波谷值均最低，其非对称性特征最弱。

图5.9给出了数值计算解η～（x，t）分别与流函数波理论解和椭圆余弦波理论解进行比较的相对误差，计算解更接近于椭圆余弦波。图5.9中同时给出了椭圆余弦波与流函数波比较的相对误差，尽管具有相同波高条件，但椭圆余弦波与流函数波之间存在一定的差异，随着波高增大、非线性增强，相对误差ErrRMS逐渐增大。由此可见，椭圆余弦波理论不适用于强非线性波。

图5.9　波面高程的相对误差

为了计算造波板运动位移，采用周期性及零均值修正后的MIKE 21 BW数值计算结果（x，t）和（x，t）对水深平均的速度U（x，t）进行修正，由此得

为求解式（5.35），设定造波板平均位移在数值波浪水槽中的位置为x0=133.2m，选取ωc=2π/30 Hz，时间步长取为dt=0.01s。由于在波浪数学模型中空间步长取为dx=0.1m，在造波板运动过程中运动位移所涉及的空间网格点不多，因此采用样条函数插值（spline）的方法平滑运动造波板附近水平速度的非线性分布。之后，通过式（5.26）的色散修正得以消除浅水条件的限制，从而得到预期的造波板运动位移X（t）。图5.10给出了H=0.20m时浅水条件下Xsw（t）与色散修正后预期X（t）的比较。两者的差异非常小，由此可见色散修正可以忽略不计，这与浅水波的造波理论一致。

图5.10　H=0.20m时X（t）和Xsw（t）的比较及两者差异

图5.11　H=0.20m时X（t）的比较

图5.11给出了H=0.20m时由MIKE 21 BW的计算解得到的造波板运动位移X（t）（BW）与线性造波理论解（Linear）、椭圆余弦波造波理论解（CN）以及利用流函数波理论解求解式（5.25）和式（5.26）的解（SF）之间的比较。线性造波理论给出的造波板运动幅值最大；而用流函数波理论得到的造波板运动位移幅值最小但非线性最强；通过MIKE 21 BW得到的结果与椭圆余弦波造波理论解基本一致，介于另外两个解之间。椭圆余弦波造波理论解与流函数波理论得到的解比较，存在较大差异。

当采用双信号模式控制系统时，图5.12给出了H=0.20m时造波板处的几种波面高程的比较，其中包括运动造波板物理模型的最终控制信号ηI，0（t）、行进波部分的波面高程衰减模态修正部分的波面高程）以及造波板平均位移处的波面高程ηI（x0，t）。行进波部分的波面高程与造波板平均位移处的波面高程ηI（x0，t）之间存在较大差异，衰减模态修正部分远小于行进波部分在H=0.12m、0.16m和0.20m条件下的比值分别为3.91%、5.09%和6.45%。

图5.12　H=0.20m时造波板处波面高程的比较

利用上述获得的控制信号、采用第1章和第4章介绍的三种不同的控制方式进行实验验证，控制方式包括定位模式、单信号模式和双信号模式。在物理波浪水槽中布置三个浪高仪对波面高程进行测量，三个测点距造波板平均位移分别为1.0m、4.4m和8.7m。对测量数据的分析均基于反射波到达测点之前测得的5个周期的波面高程数据。此外，为了更好地比较波形，对每一个测得的信号进行相位移动使得t=0时刻处于波峰位置。

首先，采用定位模式应用线性造波理论对两种不同波高H=0.12m和0.20m进行实验以作参考。图5.13给出了水槽中三个不同测点测量的波面高程时间序列与流函数波理论解的比较。可以清楚地看到，线性造波理论生成的波浪在水槽中形态不稳定。

图5.13　（一） 应用线性造波理论的测量值与流函数波理论解（SF theory）的比较

图5.13　（二） 应用线性造波理论的测量值与流函数波理论解（SF theory）的比较

其次，应用修正后的MIKE 21 BW数值解进行波浪生成，在控制信号中考虑上述的色散修正和衰减模态修正。图5.14给出了两种不同波高H=0.12m和0.20m条件下分别采用三种不同控制方式的物理波浪水槽中波面高程的测量结果，同时图5.14中也给出了修正后MIKE 21 BW数值解（BW）与之比较。当波高增大至H=0.20m时，采用双信号模式和定位模式在第二个测点处测得的波峰值均高于预期的数值解。由此可见，受数学模型的限制，应用MIKE 21 BW数值解的计算进行波浪生成不适用于强非线性波。

图5.14　（一） 应用MIKE 21 BW数值解进行波浪生成的波面高程测量值与数值解的比较

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图5.14　（二） 应用MIKE 21 BW数值解进行波浪生成的波面高程测量值与数值解的比较

图5.15给出了不同波高、不同控制方式条件下三个测量结果与数值解比较的相对误差，负数的ErrH表明测量的波高小于预期值。不同测点间测量值的差异（如H=0.20m时）表明水槽中波浪形态不稳定。为了更直观定量分析规则波的误差，对衰减因子α（Newland[8]）进行了计算，如图5.16所示。衰减因子α的定义如下。τ0=0时反映了两个同步波列的相关程度，α越趋近于1说明相关性越好、误差越小。

图5.15　应用MIKE 21 BW数值解进行波浪生成的测量值与数值解比较的相对误差

图5.16　应用MIKE 21 BW数值解进行波浪生成的测量值得到的衰减因子α

其中，ρxy（τ0）为时间序列yk（t）和与其同步的目标序列xk（t）在滞后时间τ=τ0时的相关系数函数，Rxy（τ0）为相关函数，σx和σy均为标准偏差，它们的表达式如下：

式（5.39）中，E[xk（t）]为xk（t）的平均值，对于有限数量（N）的序列，其定义如下：

随着波高增加、非线性增强，误差不断增大。对三种不同控制方式给出的衰减因子α进行比较，单信号模式的衰减因子α始终比其他两种模式的α小，主要原因是由于该模式的方法是基于线性理论；总体上定位模式的α最大，可见通常情况下定位模式在波浪物理模型中非线性波浪造波效果最好，但该模式存在的严重缺陷是在有结构物或岸滩时不能吸收二次反射波。此外注意到当H=0.16m和H=0.20m时双信号模式的效果比定位模式略好，原因大概是当测量的波面高程与预期不匹配时双信号模式系统提供了对造波板二次修正的机会。双信号模式真正的优势在于非线性波浪造波的同时提供了主动式波浪吸收。

为了分析物理模型结果和MIKE 21 BW数值计算结果之间存在差异的原因，首先用椭圆余弦波理论来替代数学模型部分，经过特定统一造波理论的应用后，在物理波浪水槽中对上述波浪条件（T=2.3s，h=0.4m，H=0.12m、0.16m、0.20m）进行试验。图5.17给出了H=0.12m和0.20m条件下波面高程的测量结果与椭圆余弦波理论解（CN）之间的比较。如前所述的现象，当H=0.20m时采用双信号模式和定位模式在第二个测点处测得的波峰值均高于预期的椭圆余弦波理论解。另外，图5.14中每种情况大体上都与图5.17相近。双信号模式和定位模式的结果与单信号模式相比，效果好很多，尤其是在强非线性波情况下。图5.18和图5.19分别给出了物理水槽中测量结果与椭圆余弦波理论解比较的相对误差及衰减因子α。

图5.17　（一） 椭圆余弦波理论生成的波面高程测量值与其理论解的比较

图5.17　（二） 椭圆余弦波理论生成的波面高程测量值与其理论解的比较

图5.17　（三） 椭圆余弦波理论生成的波面高程测量值与其理论解的比较

图5.18　应用椭圆余弦波理论的测量值与理论解比较的相对误差

图5.19　应用椭圆余弦波理论的测量值衰减因子α

应用MIKE 21 BW数值解进行波浪生成的物理模型结果与椭圆余弦波理论的结果进行比较，尽管在采用双信号模式和定位模式时椭圆余弦波理论结果由于相对误差稍小、衰减因子略大，其效果略好于数值解进行波浪生成的结果，但总体上两种方法的结果比较接近。这表明在本例中数值波浪水槽（MIKE 21 BW）的误差对整体复合模型的影响较小。对于H=0.20m时物理波浪水槽中第二个测点处的测量值与椭圆余弦波理论解的差距表明椭圆余弦波（及造波）理论不适用于强非线性波。

为了进一步分析在物理波浪水槽中较难获得强非线性波稳定波形的原因，采用流函数波理论取代椭圆余弦波理论作为输入条件，应用特定统一造波理论（在此简称近似流函数造波理论）进行波浪生成的实验，具体研究将在第7章详细介绍。图5.20给出了H=0.12m和0.20m条件下波面高程的测量结果与流函数波理论解（SF）之间的比较。测量结果与流函数波理论解比较的相对误差及衰减因子α分别如图5.21和图5.22所示。

图5.20　（一） 近似流函数造波理论生成的波面高程测量值与其理论解（SF）的比较

图5.20　（二） 近似流函数造波理论生成的波面高程测量值与其理论解（SF）的比较

图5.21　应用流函数波理论的测量值相对误差

图5.22　应用流函数波理论的测量值衰减因子α

由于单信号模式是以线性理论为研究基础，其结果和预期的一样糟糕。而采用双信号模式和定位模式时，在每一种波高条件下物理波浪水槽中每一个测点的测量结果均与流函数波的理论解吻合良好。尤其当H=0.20m时水槽中第二个测点处的测量结果，与椭圆余弦波造波理论结果和应用MIKE 21 BW数值解进行波浪生成的物理模型结果相比有大幅度的改善。采用双信号模式和定位模式时，衰减因子α均大于0.95，测量结果与流函数波理论解比较的相对误差也远小于应用椭圆余弦波造波理论及应用MIKE 21 BW数值解进行造波的误差。与双信号模式的结果比较，定位模式的效果更佳，尤其对于强非线性波。这主要是由于定位模式的控制系统中对于单纯波浪生成没有任何其他干扰信号。因此，对于浅水波情况，近似流函数造波理论能够在波浪水槽中较好地再现强非线性波。这也表明了在复合波浪模型中波浪重现的主要误差是由于MIKE 21 BW数学模型或椭圆余弦波的精度限制，而不是特定统一造波理论的缘故。