海岸工程中的Boussinesq法：详解非线性波浪传播预报

随着经济的不断发展，人类对海洋、海岸和近海地区的开发日益增多。波浪作为重要的物理现象和海洋、海岸工程中主要动力因素之一，一直受到广泛关注，对波浪复杂现象的正确描述和呈现也一直是学者研究的重点。通常波浪的物理模型试验与数学模型计算是解决各种海岸工程中的波浪问题、研究波浪传播过程以及波、流和结构物之间相互作用的两个主要工具，各自有其优势和弱点。

数学模型主要的优势包括适用于大尺度海域，不需要昂贵的结构物、场地和设备，不受模型比尺影响，在应用、修改和维护等方面具有很强的灵活性。但是由于数学模型的控制方程对真实物理现象描述存在近似，对于波浪破碎及结构物附近的复杂非线性波浪问题难以准确模拟。而物理模型主要的优势在于能够模拟数学公式难以表达的复杂非线性波动过程，同时不存在对真实物理现象近似造成的误差。但其缺点是受场地、设备尺寸限制；人力、物力和财力耗费大；模型修改和变换的灵活性差（Oumeraci，1999）[1]。此外，由于受模拟范围的限制，一般物理模型的外海边界处的水深相对较浅，当地可能存在波浪的折射和绕射的影响。目前，最常用的入射波边界条件的方式是用标准参数的波谱表达，而该方式只有在水深达到足够深时才能较好地对波浪进行描述。因此，通常情况下物理模型设备尺寸和场地的影响使得模型的边界条件难以体现波浪的折射和绕射等局部重要的现象。而将数学模型与物理模型有效地联合，既能克服两种模型各自的缺点，又能充分发挥各自优势。一种恰当的联合方式是采用数学模型模拟大范围海域内波浪的传播过程，而在近岸或结构物附近采用物理模型重点关注波浪的复杂现象。

海岸工程中Boussinesq方法广泛应用于对非线性波浪传播过程的预报。Boussinesq类型方程模型的基本思想是在考虑非静压影响的同时，通过引入垂向流场分布的多项式近似来消去垂向坐标，使三维问题简化为二维问题。这种方法最早是由Boussinesq于1872年首次提出[2]。在过去的20多年里，Boussinesq类型方程不断改进、发展，同时基于该方程的商业软件开发使其在国际上实际工程中的应用更加广泛。Boussinesq类型方程从最初的浅水近似逐渐向全色散性和非线性方面深入。Padé逼近概念的引入也大大提高了方程的色散性和浅水变形特性，使其成为海岸工程应用中极具吸引力的工具（Madsen和Schäffer）[3，4]。Madsen等[5]，Madsen和Sørensen[6]以及Nwogu[7]在模型中对Stokes线性色散关系中无量纲水深kh采用Padé[2，2]阶展开来增强色散关系的准确性，使得相速度误差在5%以内的应用范围上升到kh≈π。随后，Schäffer和Madsen[8]采用Padé[4，4]阶展开来增强色散关系的准确性，使其应用范围进一步上升到kh≈6。随着色散关系、浅水变形特性的改进和非线性项精度的提高，模型应用范围的相对水深越来越大。Madsen等[9]将其完全非线性模型的使用范围提升至kh≈40。但对于高精度Boussinesq方程，随着方程形式的复杂化，其计算量随之增加，限制了其在实际工程中的应用。

在波浪物理模型的研究中，造波是一个非常关键的问题，可参阅的相关文献包括，Dean和Dalrymple于1984年出版的文献[10]的第六章，Svendsen于1985年发表的综述性文献[11]，以及Hughes于1993年出版的文献[12]的第七章，等。Havelock[13]于1929年提出了用于机械造波机的造波理论基础。之后，Biesel和Suquet在1951年[14]和1954年[15]在理论上基于线性化Stokes理论进行了研究，并针对不同造波机类型进行了实用性分析，为今天水力实验室的波浪造波技术奠定了基础。

对于单一方向非线性波造波理论，许多学者对其理论的推导进行了研究。Fontanet[16]在1961年首次提出了二阶造波理论，该理论基于Lagrangian坐标通过正弦运动的平板造波机实现，但该理论形式复杂，难以在实际中应用。Madsen[17]提出了一种适用于浅水规则波的近似方法得以抑制伪和频（superhamonic）谐波的生成。Flick和Guza[18]基于一阶理论发展了二阶规则波造波理论。Hudspeth和Sulisz[19]基于欧拉理论方法推导出了波浪水槽中规则波的全色散二阶造波理论，另参见文献Sulisz和Hudspeth[20]。Moubaved和Williams[21]在此基础上扩展到双色造波板运动，为后续的不规则二阶理论研究打下了基础。Schäffer[22，23]在1993年和1996年提出了一种完全的二阶造波理论，该理论解基于复数的表达形式，考虑和频（superharmonic）与差频（subharmonic）作用以及波浪的传播和衰减模态，并适应于推板式和摇板式造波机的统一模式，是目前为止最完整、有效和准确的二阶造波理论。(www.xing528.com)

对于非线性规则长波，Hammack和Segur[24]于1974年提出了综合理论分析和实验研究的孤立波生成方法。Goring[25]、Goring和Raichlen[26]通过对海啸传播的研究发展了椭圆余弦波造波理论，并通过匹配造波板的速度与造波板运动时理想的波浪水质点速度的途径提出了一种具有普遍意义的长波生成方法，该方法是浅水波造波理论的基础。一直以来，二阶造波理论和椭圆余弦波造波理论是两个分别在非浅水和浅水中应用的主要非线性造波理论，然而他们不适用于强非线性波浪的生成。流函数波理论是一种完全非线性波的数值高阶波浪理论，1961年首次被Chappelear[27]应用。之后Dean[28]在20世纪60年代，Chaplin[29]、Rienecker和Fenton[30]以及Fenton[31]在80年代对该方法进行了发展。目前，流函数波理论已经成为一种广泛应用于等水深条件下非线性稳定波浪的理论。基于流函数波理论，Zhang（本书作者）和Schäffer[32]于2007年首次提出了一种适用于浅水和中等水深的近似流函数波造波理论，并在实验水槽中成功生成了具有稳定波态的高阶非线性规则波。

对于具有一定方向的波浪生成，通常是在实验室的波浪水池中利用多块造波板排列成一定形状进行不同相位的往复运动得到具有一定方向的三维波浪，这种造波机被称为分段式造波机。Madsen[33]于1974年通过两块造波板构成的三维造波机研究了斜向波的一阶造波理论。Gilbert[34]在1976年通过分段式造波机对斜向波的生成做了进一步研究。研究发现，当造波机具有有限宽度的造波板片段时，会产生伪谐波。随后，Takayama[35]、Takayama和Hiraishi[36]、Dalrymple和Greenberg[37]采用不同方法分析了由单个有限宽度的造波机生成的单频波。1987年Suh和Dalrymple的研究[38]跨出了二阶方向波造波理论研究的第一步。21世纪初，Steenberg和Schäffer[39]、Schäffer和Steenberg[40]基于波浪水槽的二阶非线性造波理论发展了半无限波浪水池的完整二阶造波理论。

波浪物理模型试验中，入射波经结构物反射或波浪水槽/水池尾端反射回来的波浪至造波板后会造成二次反射，干扰实验及数据分析。因此，用于减小波浪反射影响的波浪吸收是波浪物理模型试验中的另一个主要问题。通常被动式吸收方式是指为避免反射波的产生，在波浪水槽或水池的尾端设置波浪吸收装置；而主动式波浪吸收是指将造波机作为一种动边界，通过对造波机的控制，在生成目标波浪的同时抵消传播至造波机的反射波，以避免二次反射的产生。与传统的被动式吸收方式相比，主动式吸收具有明显优势。Milgram[41]于1970年首次在波浪水槽实验中采用了主动式吸收方法。多年来主动式吸收技术不断发展，相关的参考文献主要包括Schäffer和Klopman在2000年发表的综述性文献[42]，以及Hughes在1993年出版文献[12]的第七章，等。在国外的波浪实验室中，主动式吸收技术的应用也越来越广泛，如荷兰Deltares、加拿大NRC、丹麦DHI等。丹麦DHI的主动式吸收技术的应用始于20世纪80年代中期。它是通过在造波板前安置一个或多个浪高仪，将其测量的板前波面高程作为水动力反馈来修正对造波板运动的控制，实现主动式吸收。最初的想法是使用一种电路用于吸收回路。随后，Schäffer等人[43，44]采用递归数字滤波器开发了一套用于波浪水槽的主动式波浪吸收控制系统（DHI AWACS），之后又将其发展至用于波浪水池的三维主动式波浪吸收控制系统（DHI 3D AWACS）[45，46]。2003年Schäffer和Jakobsen[47]又提出了一种适用于非线性波浪造波和主动式吸收的方法。该方法是利用造波板运动位移及其对应的造波板处波面高程作为控制信号来实现。

波浪数学模型与物理模型的联合模拟方法通常又称为波浪“复合模型”（composite modelling）或“混合模型”（hybrid modelling）。Kamphuis[48-50]、Watts[51]、Schäffer[52]及其他学者在20世纪90年代末及21世纪初先后从理论角度对此进行了一系列的研究讨论，其中一些研究将波浪数学模型与物理模型的联合模拟应用于工程实际中。通常情况下联合模拟的方法是应用数学模型来确定物理模型边界处的波浪条件。传统的联合模拟方法是基于统计水平，通过波谱或一些参数（如有效波高，峰波周期等）实现数学模型和物理模型之间的数据传递，如Kofoed-Hansen等[53]在2000年及Gierlevsen等在2003年[54]的研究。造波机沿线波浪被认为均匀分布且采用线性造波理论进行波浪物理模型模拟。因此，传统的联合模拟方法忽略了物理模型边界处波浪的非线性和非均匀性，掩盖了波浪近区的折射、绕射等复杂现象。Zhang（本书作者）和Schäffer[55-57]在2004—2007年创新性地提出了针对二维和三维波浪数学模型与物理模型的确定性联合模拟方法。该方法基于一种特定统一造波理论（ad hoc unified wave generation），将全色散线性造波理论和一般的非线性浅水波造波方法相结合。利用该理论建立的波浪数学模型与物理模型确定性联合模拟方法，能够通过时间和空间的变化完全确定性地将数学模型的波浪数据传递至物理模型边界，达到波浪数学模型与物理模型的确定性联合模拟。该方法对浅水及相对浅水的非线性波和小振幅波问题具有良好的适用性。Yang等[58-60]于2013—2014年在不考虑主动波浪吸收的前提下以上述特定统一造波理论为基础拓展了二阶非线性项，实现了二阶的复合模型（文献中称为coupling）。