精确线性化控制设计考虑可控的n阶非线性系统

精确线性化控制设计原则，是把一个非线性控制系统精确线性化成一个可控的线性系统，并根据线性控制系统，得到状态的非线性反馈控制律；把得到的控制律转换回原有的非线性空间，就会得到原控制系统的非线性控制设计。

B.9.1 精确线性化的条件

为了引进精确线性化的条件，我们需要介绍下面的定理：Frobenius定理

考虑下面的偏微分方程组：

式中∂h（X）/∂X是h（X）的梯度向量；[Y₁（X）Y₂（X）…Y_k（X）]是在X空间定义的n维向量场。

假设矩阵[Y₁（X）Y₂（X）…Y_k（X）]在X=X⁰有阶k。当且仅当增广矩阵[Y₁（X）Y₂（X）…Y_k（X）[Y_i，Y_j]]在X⁰邻域对所有的X仍有阶k时，在X⁰的Ω邻域一定存在式（B-4）的n-k个标量函数解，使雅可比矩阵∂h（X）/∂X在X=X⁰有阶n-k。

Frobenius定理提出的条件实际上是向量场[Y₁，Y₂，…，Y_k]对合性的条件。

B.9.2 通过精确线性化的非线性控制设计

考虑如下一个单输入、单输出n阶非线性控制系统：

我们假设系统的相关度是r=n，那么这个系统可以被变换成一个可控的线性系统

其中矩阵A和B是Brunovsky标准形式，Z和v分别是状态变量向量和控制变量。

利用非线性状态反馈，可以产生线性化：(www.xing528.com)

式中

α（X）=L_fⁿh（X）

β（X）=L_gL_f^n-1h（X）

而且微分同胚坐标变换：

在式（B-6）中，线性系统最优控制是

v^*=-B^TP^*Z（t）

其中P^*是Riccati矩阵方程的解。

考虑到坐标变换Z=Φ（X），我们可以得到以下的非线性控制律：

Brunovsky标准形式给出如下：

式中