观测值和或差的函数中误差问题探讨

设有函数

Z=X±Y （6-25）

式中X、Y——直接观测值；

Z——直接观测值X、Y的和或差的函数。

当直接观测值X、Y含有相应的真误差Δ_X、Δ_Y时，函数Z必然也产生真误差Δ_Z，则有

Z+Δ_Z=（X+Δ_X）±（Y+Δ_Y）

将上式与式（6-25）相减，得Δ_Z=Δ_X±Δ_Y （6-26）

这就是和或差函数的观测值真误差与函数真误差之间的关系式。

当对X、Y均独立直接观测n次时，则有

ΔZ₁=ΔX₁±ΔY₁

ΔZ₂=ΔX₂±ΔY₂

︙

ΔZ_n=ΔX_n±ΔY_n

将等式两边平方，得

将上列n式相加，并除以观测次数n，得

[Δ²_Z]/n=[Δ_X²]/n+[Δ²_Y]/n±2[Δ_XΔ_Y]/n

当n→∞时，等式两边取极限。

limn→∞[Δ²_Z]/n=limn→∞[Δ_X²]/n+limn→∞[Δ²_Y]/n±2limn→∞[Δ_XΔ_Y]/n

按中误差定义，得

m²_Z=m²_X+m²_Y±2limn→∞[ΔXΔY]/n （6-27）

上式右边的第三项，由于Δ_X、Δ_Y均为独立直接观测值X、Y的真误差，属于偶然误差性质。根据偶然误差特性Δ_Xi、Δ_Yi仍具有偶然误差性质，当n趋近无穷大时，[ΔXΔY]/n将趋近于零，即

limn→∞[ΔXΔY]/n=0 （6-28）

以后将满足上式的误差ΔX、ΔY称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。在推导误差传播定律的公式时，对于独立观测值来说，式（6-14）可写为

m²_Z=m²_X+m²_Y(www.xing528.com)

也即是

由上式可知，两个独立直接观测值之和或差的函数中误差，等于这两个独立直接观测值中误差之平方和的平方根。

设有n个独立直接观测值的函数

Z=X₁±X₂…±X_n

根据和或差的函数中误差的推导方法，不难证明，其函数中误差式为

或

即n个独立直接观测值之和或差的函数中误差，等于各直接独立观测值中误差平方和的平方根。

在特殊情况下，当m_X1=m_X2=…=m_Xn=m时，则上式可写为

即n个等精度独立直接观测值的和或差的函数中误差，等于观测值中误差的n倍。

例6-3 在三角形中已测得两角，其中误差分别为±3″和±4″。试根据已测两角的中误差计算出第三角的中误差。

解：按题意得第三角的函数式

C=180°-A-B

则第三角C的中误差，根据式（6-29），可算得

例6-4 如图6-3所示，自水准点A经水准点B、C点向水准点D进行水准测量，观测高差依次为h₁、h₂、h₃，其中误差相应为m_h1=±5mm、m_h2=±3mm、m_h3=±4mm，试求A、D两点间的高差中误差。

图6-3 求高差中误差

解：该题的函数式为

h_AD=h₁+h₂+h₃

则其高差h_AD的中误差，依式（6-30）可计算得