RLC串联谐振电路的频率响应和选择性优化

引例：在研究RLC串联电路频率响应之前，再了解一下收音机的选频性。收音机输入回路选频性示意图如图9－16所示。各个不同频率的广播电台所发射的无线电波，都会在接收线圈中产生感应电压，并产生一定的电流。若想接收u1信号，可以调节可调电容C，使得回路的频率为f1，这样电路在频率f1处发生谐振，对u1信号呈现出阻抗最小的特点，此时电流最大，经过放大可以得到一个放大了的u1信号。u2和u3原理相同，只需改变C的大小以使电路在某一频率处发生谐振。这就是谐振回路的选择能力。把电路从输入的全部信号中选取所需信号的能力称为电路的选择性。

为了说明电路选择性的好坏，必须研究谐振回路中物理量和频率的关系，即频率特性，也叫频率响应，其曲线为频率响应曲线。研究频率响应曲线可以加深对谐振现象的认识。

1.阻抗的频率特性

串联阻抗为

得到阻抗幅频特性为

图9－16　收音机选频性示意图

阻抗相频特性为

图9－17给出了阻抗频率响应曲线。由图可见，频率为ω0时电路发生谐振，此时阻抗值最小。

2.电流频率特性

电流幅值与频率的关系为

得电流频率响应曲线如图9－18所示。

图9－17　阻抗频率响应曲线

图9－18　电流频率响应曲线

从电流谐振曲线看出，谐振时电流达到最大，若电源电压不变，则谐振峰值仅仅与电阻R的大小有关，电阻R越小，曲线越尖锐，所以，电阻R是唯一能控制和调节谐振峰值的电路元件，进而控制谐振时的电感和电容两端的电压及其储能。串联谐振时，电路的电流达到最大I0，当ω偏离ω0时，电流从极大值U/R下降，ω偏离ω0越远，电流下降越大，即串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振点的信号最突出（表现为电流最大），而对远离谐振点的信号加以抑制（电流小）。电路具有选择最接近于谐振频率附近信号的性能，这种性能在无线电技术中称为选频性。

3.串联谐振电路的通频带

在广播和通信电路中，被传输的信号往往不是一个频率，而是具有一定的频率范围。例如，电台为保证传输信号不失真，就要具有一定的频带宽度，在这种情况下，不希望电路的谐振曲线过于尖锐；否则会把一部分需要传输的信号抑制掉而产生失真现象。那么怎样确定某一电路的通频带呢？

在电流谐振曲线0.707I0处作一水平线，与谐振曲线交于两点，如图9－19所示，则对应横坐标分别为fH和fL，fH和fL之间即为通频带BW，单位为赫兹（Hz）。

通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围，是比较和设计谐振电路的指标。可以看出，通频带BW与品质因数Q成反比，Q值越高，谐振曲线越尖锐，电路选择信号的性能越好，但电路的通频带也就越窄；反之，Q值越低，谐振曲线越平滑，选择性越差，但电路的通频带越宽。

在实际应用中，应根据需要兼顾BW与Q的取值，首先应该保证信号通过回路后的幅度失真不超过允许的范围，然后尽量提高回路的选择性。

例9－4　一信号源与R、L、C电路串联，要求谐振频率f0＝104Hz，频带宽BW＝100Hz，R＝15Ω。求出这个串联电路的各个元器件参数值。

图9－19　通频带

解题步骤如下。

（1）首先求解电路的品质因数，由式（9－8）可得

（2）根据式（9－7）分别求解出电容的值和电感的值

（3）画出R、L、C与信号源的串联电路，并标注参数值如图9－20所示。

例9－5　如图9－21所示电路，电源角频率为ω，问在什么条件下输出电压uab不受R和C变化的影响？(www.xing528.com)

图9－20　例9－4解图

图9－21　例9－5题图

解题分析：首先应用电源等效变换，把图9－21所示电路变换为图9－22所示电路，显然当L1、C1发生串联谐振时，输出电压uab不受R和C变化的影响。

图9－22　例9－5解图

解题步骤如下。

（1）应用电源等效变换原则，首先求出图9－22中电压源u的大小，即

（2）分析电路发生了谐振，根据谐振条件求解出谐振角频率ω0。令

则

（3）此时L1、C1上电压和为零，始终等于。

（4）结论：当等于电源角频率ω时，始终等于，不受R和C变化的影响。

练一练：

已知电路如图9－23所示，R＝10Ω，L＝10mH，C＝100pF，US＝1V，试求电路发生谐振时的频率和各电表读数。

解题步骤如下。

（1）首先分析电路，为RLC串联电路。

解题微课

（2）求解电路发生串联谐振时的谐振频率，即

（3）求解电路的品质因数，即

图9－23　练一练题图

（4）分析各个电压电流表分别测量哪部分电路的哪些物理量，其中：

①电压表VR测量：______。根据谐振时电阻电压等于电源电压，可得VR数值为：______。

②电压表VL测量：________。电压表VC测量：________。谐振时电感电压等于电容电压且为电源电压的Q倍，可得VL＝________和VC＝________。

③电压表V测量：______。根据串联谐振时电压特性可得电压表数值为______。

④电流表A测量：______。根据谐振时电路呈现纯电阻性可得电流表数值为______。

课后思考

（1）若信号频率并非完美的正弦波形，而是夹杂着一定的干扰信号，通过我们目前阶段的学习有什么解决的办法吗？

（2）电阻R是唯一能控制和调节谐振峰值的电路元件吗？为什么？