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复数的基本运算的分析介绍

时间:2023-06-15 理论教育 版权反馈
【摘要】:矢量的长度r称为复数的模,模总取正值。对应于极坐标,复数还可以写成例6-2写出复数5+j4和复数-3-j2的三角函数形式、指数形式和极坐标形式。通过上述举例可知,复数要化为极坐标形式相乘除。用来表示这种模为1的复数,并称它们为旋转因子。

复数的基本运算的分析介绍

对正弦交流电路进行分析,就需要对正弦量进行加、减、乘、除运算。用一般的运算方法比较烦琐,但用数学中的复数概念,可以方便地解决正弦量之间的计算问题。

1.复数的表示

1)代数表示

复数在数学中的代数形式用A=a+bi表示。其中a为实部,b为虚部,,称为虚单位。但在电工学中,i已表示电流,为避免混淆,复数常用A=a+jb表示。

2)图形表示

取一个直角坐标系,横轴称实轴,用来表示复数的实部;纵轴称虚轴,用来表示复数的虚部。两轴所在的平面称为复平面。对每一个复数而言,都可以在这个复平面上找到唯一对应的点;反过来,每一个复平面上的点可以对应唯一的一个复数。

复数还可以用复平面上的矢量来表示。

例6-1 在图6-1中标出复数5+j4对应复平面上的点P1,以及复数-4+j3对应的点P2和复数-3-j2对应的点P3。同时用复矢量来表示复数5+j4和-4+j3。

标注方法:

在横轴上找对复数的实部分量,在纵轴上找对复数的虚部分量,并分别作虚线,如5+j4示例。两线的交点即复数在复平面上唯一对应的点(请读者自行标注3个点于图6-1中)。从原点0指向该点的矢量即为复矢量。

由以上示例可知,任意一个复数A=a+jb都可以对应一个复矢量OP,如图6-2所示。矢量的长度r称为复数的模,模总取正值。矢量与实轴正方向的夹角θ,称为复数A的幅角。它们和复数的实部、虚部分量之间满足

图6-1 复数与复平面上对应的点

图6-2 复矢量表示复数

根据三角函数关系,可知

a是复数A的实部,也是复数A的模在实轴上的投影;b则是它的虚部,也是该复数的模在虚轴上的投影。

因而复数也可以写成

式(6-4)指出,复数除了有代数表示形式外,还有三角函数的表示形式,它与代数形式的转换关系满足式(6-1)和式(6-2)及式(6-3)。

2.复数的形式

复数除了代数形式、三角函数形式外,根据欧拉公式,即

式(6-4)又可以写成

该形式称为复数的指数形式。

对应于极坐标,复数还可以写成

例6-2 写出复数5+j4和复数-3-j2的三角函数形式、指数形式和极坐标形式。

解:(1)5+j4的模

5+j4的幅角

则其三角函数形式为:6.4cos38.7°+j6.4sin38.7°

指数形式为:6.4ej38.7°

极坐标形式为:6.438.7°

(2)-3-j2的模

-3-j2的幅角θ=arctan

直接求反函数可得角度33.7°。由于复数-3-j2的矢量位于第三象限,如例6-1中应标注的位置,因此利用tan(π+α)=tanα,以及三角函数中正负角度的概念,将幅角写成≤180°的形式,最终确定幅角θ=-146.3°

则其三角函数形式为:3.6cos(-146.3°)+j3.6sin(-146.3°)

指数形式为:3.6ej(-146.3°)

极坐标形式为:

例6-3 写出-1、j、-2j的极坐标形式。

解:-1的虚部为零,对应的矢量与复平面上横轴的负半轴重合,其极坐标形式为:

同理,j的实部为零,其矢量与复平面上纵轴的正半轴重合,其极坐标形式为:(www.xing528.com)

-2j的矢量与复平面上纵轴的负半轴重合,模为2,其极坐标形式为:

练一练:

写出复数-4+j3的三角函数形式和极坐标形式。

(1)计算复数的模。

(2)计算复数的幅角,注意复矢量所在的象限。

(3)写出复数的三角函数形式。

解题微课

(4)写出复数的极坐标形式。

3.复数的运算

1)复数的加、减法

例6-4 有两复数求A-B。

解题步骤如下。

(1)两个极坐标形式的复数之间做减法。如果直接按极坐标反映的矢量形式相减,则并不简便。因而要先将复数化作代数形式。

(2)两者代数相减。

(3)将代数形式的结果转换回极坐标形式。

通过上述举例可知,复数要化为代数形式相加减。现设有两个复数:

在复数相加减时,将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减。因此,有

2)复数的乘、除法

例6-5 有两复数A=8+j6,B=6-j8。求A·B与A/B。

解题步骤如下。

(1)两个代数形式的复数做乘除法。若直接乘除,则不简便,因而先将复数化作极坐标形式。

(2)复数相乘:模相乘,幅角相加。

(3)复数相除:模相除,幅角相减。

通过上述举例可知,复数要化为极坐标形式相乘除。在乘除时,模与模相乘除,幅角与幅角相加减。如式(6-8)和式(6-9),即

图6-3 例6-6矢量图

三者的矢量图如图6-3所示。

通过该例题可知,一个复数乘以j,相当于把这个复数矢量在复平面逆时针方向旋转了90°;而乘以-j,则相当于把该矢量顺时针方向旋转了90°。同理可知,当一个复数乘以-1时,相当于将该复数矢量旋转了180°。

像这样模等于1、幅角为θ的复数,当它与其他任意复数相乘时,都不会改变模的值,但能改变幅角。实际上就是将该任意复数的复矢量从原来位置逆时针方向旋转了θ角。用来表示这种模为1的复数,并称它们为旋转因子。

练一练:

有两复数,求I1+I2和I1I2

(1)将两复数转换成代数形式。

(2)复数相加。

(3)复数相乘。

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