RL电路的零状态响应探析

在图5－31所示电路中，开关S未合上前，如果电感上的电流为零，则电感处于零初始状态。在t＝0时，S闭合，电感L上的电流不能突变，将从零开始上升，直至达到稳态值。

根据基尔霍夫定律，有

图5－31　RL零状态响应

该式的解可写成i＝i′＋i″。

电感电流的稳态值可以满足上述微分方程，故可作为该方程的一个特解，即而该方程的通解为

其中τ＝L/R。微分方程的全解为

将电路换路一瞬间的电感初始电流i（0＋）＝0代入该式，可得

这样就能得到

接通激励电源后，电感上的电压可用求导法求得，也可用电路分析法求得，即

式（5－30）表明，在t＝0时刻电路接通瞬间，电感上的电压为US。随后逐渐衰减到零，即电感电压在稳态时为零，相当于短路。

根据式（5－29），又有电阻上电压为

RL零状态响应时，i和uL、uR随时间变化的曲线如图5－32所示。开关合上以后，经过大约τ的时间，电流可达到最终稳定值的63.2%。经过3τ的时间，该数值可达到95%，并逐渐趋近于电流的稳定值US/R。在工程上，一般认为经过（3～5）τ的时间，过渡过程结束。同样地，电感电压以及电阻电压也随电流变化而变化，它们之间的关系既符合电磁感应定律，也满足电路的约束条件。

图5－32　RL零状态响应时uL、uR和i随时间的变化曲线(www.xing528.com)

例5－9　图5－33所示电路是一个直流发电机的励磁绕组电路模型。已知外加电压US＝200V，R＝20Ω，L＝20H。求开关S闭合后电路励磁部分的电感电流i的变化规律和电流达到10A所需要的时间。

解：（1）稳定值：i（∞）＝

图5－33　例5－9电路图

（4）大约经过5τ的时间，即5s，电流达到稳定值10A。

练一练：

RL串联电路如图5－33所示。US＝100V，R＝50Ω，L＝10H，电感未储能。t＝0时开关闭合，求电感电流i和电压uL的零状态响应。

解题微课

需要关注的方法和步骤如下。

（1）求出开关闭合后，电感电流的稳定值：_______________________。

（2）求出时间常数τ：_________________________________________。

（3）写出电流i的表达式：_____________________________________。

（4）可以对电流i求导，解出电压uL的表达式：___________________。

（5）也可以根据电流i的表达式，用欧姆定律求出电阻电压uR，再用基尔霍夫定律写出电感电压uL：_________________________________________________________________。

知识点归纳

（1）RL一阶电路零输入、零状态响应分别对应电感释放能量、存储能量的过程。

（2）利用电感电流不突变，可知零输入响应时电感电流的初始值。

（3）利用电感在稳定状态下相当于短路，可知零状态响应时电感电流的稳态值。

（4）时间常数τ＝L/R，它由换路后电感能量交换回路中的元件参数确定，它决定了过渡过程的快慢。

（5）在求得电感电流过渡过程的基础上，可根据电路分析或微分求导解出电压等其他参数的过渡过程。