电路优化：RL电路的零输入响应分析

在图5－27所示电路中，电感L已存储满电场，电路处于稳态。此时电感中的原有电流为

在t＝0时，开关S闭合，电感上的电流就从初始值I0开始下降，最后降为零。

根据基尔霍夫定律，换路后有

而，将其代入上式并整理，即得到以i为变量的微分方程，即

图5－27　RL零输入响应

这也是一阶常系数线性齐次微分方程。令i＝Aept，可得相应的特征方程为

其特征方程根为

所以，电流为

根据换路定律，换路后电感电流初始值i（0＋）＝i（0－）＝I0。代入上式，得

这样就得到了积分常数，并且得到了电流的解，即

令τ＝L/R，τ的单位是s，τ称为RL串联电路的时间常数。这样上式可以表示为

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通过求导可得电感上的电压为

式（5－26）说明电感上的电流在零输入响应时按指数规律衰减。此时根据楞次定律，电感上必然产生沿电流方向的感应电动势，与设定的uL参考方向相反，因此在式（5－27）中出现了负号。而与电感串联的电阻R在换路后，其电压也随电流i的减小而下降，但方向与电感上的电压相反，有

在式（5－26）至式（5－28）中，τ＝L/R，反映了RL电路响应的快慢。L越大，在同样大的初始电流I0作用下，电感存储的磁场能量越多，释放能量所需的时间就越长；而电阻R越小，在同样大的初始电流I0作用下，电阻消耗的功率就越小，暂态过程也就越长。

i和uL、uR随时间变化的曲线如图5－28所示。

图5－28　RL零输入响应时i和uL、uR随时间的变化曲线

例5－8　RL串联电路如图5－29所示。US＝24V，R＝1kΩ，L＝0.1H，电路已处于稳态。t＝0时开关从1拨到2位置。求电感电流i和电压uL的零输入响应。

图5－29　例5－8电路图

练一练：

RL串联电路如图5－30所示。US＝24V，R＝1kΩ，L＝0.1H，电感两端接有一个电压表，其内阻是RV＝400kΩ。在电路已处于稳态情况下断开开关S。求：（1）电感电流的零输入响应；（2）开关断开瞬间，电压表上的端电压是多少？此时电压表是否安全？

需要关注的方法和步骤如下。

（1）求电感电流初始值：_____________________________________________________。

（2）换路后电感释放能量的回路只经过电压表，此时要用内阻RV求时间常数τ：____________________________________________________________________________________。

（3）写出电流i的表达式：___________________________________________________。

（4）用RV·i求电压表在t＝0时刻时两端的电压：______________________________。

图5－30　练一练题图