RC电路零输入响应的优化

在图5－21所示电路中，电容C已被电压源充电充到电压U0。在t＝0时，开关S断开电源，电容上的电压就从初始电压U0开始下降，最后降为零。

图5－21　RC零输入响应

根据基尔霍夫定律，换路后有

而式中的负号表示电流i与电压的参考方向相反。将其代入上式，就得到以uC为变量的微分方程，即

这是一阶常系数线性齐次微分方程。令uC＝Aept，代入上式，可得相应的特征方程为

已知换路前，电容已充满电uC（0－）＝U0，换路后，电压初始值uC（0＋）＝uC（0－）＝U0。代入上式，得

这样，就得到了满足初始值的微分方程的解，即

该式就是电容不与电源相连以后，放电过程的电压uC表达式。(www.xing528.com)

换路后，电路中的电流为电容的放电电流，可用i＝求导法求得，也可用电路分析法，求得电流为

令τ＝RC，则τ的单位是秒（s），τ称为RC串联电路的时间常数，反映了电路过渡过程的快慢。这样式（5－19）和式（5－20）可以表示为

两式都表明，零输入响应时，电容上的电压和电流都是按指数规律衰减的。又由于在该电路中，uR和uC在数值上相等，因此换路后电阻R上的电压在数值上也衰减。当式中的时间常数τ越小时，衰减越快。理论上，当t＝∞时，uC和i衰减至零，过渡过程结束，但实际上，经过（3～5）τ的时间，过渡过程就基本结束。表5－4给出了对应于不同时刻，uC电压的放电值。

表5－4　t为时间常数τ的整数倍时uC放电的电压值

uC、i随时间变化的曲线如图5－22所示。由该图或计算可知，电容电压或电流衰减至原来值的36.8%所需的时间恰巧等于时间常数τ。时间常数τ＝RC，它由电路中元件的参数决定。R越大或者C越大，电容电压或电流衰减的时间就越长。

图5－22　RC零输入响应时uC和i随时间的变化曲线

例5－6　RC串联电路如图5－23所示。R＝10kΩ，C＝30μF，US＝10V，开关S在1位置时电容已充满电。在t＝0时刻时，S拨到2位置。求电路中uC和i的零输入响应，并分别求换路后经过300ms和1.5s以后电容上的电压。

图5－23　例5－6电路图