特勒根定理及其应用

特勒根定理是在基尔霍夫定律的基础上发展起来的一条重要的网络定理。与基尔霍夫定律一样，特勒根定理与电路元件的性质无关，适用于任何集中参数电路。

特勒根定理有以下两条。

1.特勒根功率定理

对于一个具有n个节点和b条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并令（i1，i2，…，in）和（u1，u2，…，ub）分别为b条电路的电流和电压，则对任何时间t，有

例4－8　图4－21（a）是一个简单的电路，图4－21（b）是图4－21（a）的拓扑图。试证明特勒根定理。

图4－21　例4－8图

解：设节点③为参考点，则un1、un2分别是节点①、②的节点电压。i1、i2、i3、i4分别表示各支路电流。u1、u2、u3、u4分别表示各支路电压。

根据KVL可得

根据KCL可得

各支路的代数和为

将支路电压用节点电压替代后，有

整理可得

上述证明过程可推广到具有n个节点和b条支路的电路，由此可证明特勒根定理成立。

注意在证明过程中，只根据电路的拓扑性质应用了基尔霍夫定理，并不涉及电路的具体内容，因此可以总结出：特勒根定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用。这个定理实质上是功率守恒的数学表达式，它表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。

2.特勒根似功率定理

如果两个电路的支路数和节点数都相同，而且对应支路与节点的连接关系也相同，并具有相同的电压和电流方向，那么这两个电路具有相同的拓扑结构，即它们的拓扑图完全相同。它们的支路电流和支路电压分别用（i1，i2，…，in）和（u1，u2，…，ub）以及表示，则在任何时间t有

例4－9　图4－22（a）是一个和图4－21（a）具有相同拓扑结构的电路，拓扑图如图4－22（b）所示。试证明特勒根似功率定理。

图4－22　例4－9图

将支路电压用节点电压替代，并代入图4－21所示的支路电流后，有

同理可证

特勒根定理的第二种表达式不能用功率守恒解释，它只是表明两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一个支路电流，或者可以是同一电路在不同时刻的相应支路电压和电流所必须遵守的数学关系。由于它仍具有功率之和的形式，所以又称为“似功率定理”。

例4－10　图4－23所示电路NR是一个电阻网络，已知R1＝1Ω，R2＝2Ω，R3＝3Ω，uS1＝18V。当uS1作用，uS2＝0时，测得u1＝9V，u2＝4V；当uS1和uS2共同作用时，测得u3＝－30V。试求uS2。(www.xing528.com)

图4－23　例4－10图

解：两次测量的是同一个电路，因此拓扑结构不变，可利用特勒根定理求解。

第一次测量得到的数据为

uS1＝18V，uS2＝0，u1＝9V，u2＝4V

可以求出：

第二次测量得到的数据为

可以求出

根据特勒根定理，有

代入数据，可得

解：利用特勒根定理求解。

图4－24　练一练题图

知识点归纳

解题微课

任一具有n个节点、b条支路的电路，特勒根定理的表达式为

如果两个电路具有相同的拓扑结构，且电压和电流都取关联参考方向，则特勒根定理还可表示为

特勒根定理在使用时需要注意以下几点：

（1）特勒根定理与元件性质无关。

（2）特勒根定理只要求uk、ik在数学上受到一定的约束（KVL、KCL的约束），而并不要求它们代表某一物理量，所以特勒根定理不仅适用于同一网络的同一时刻，也适用于不同时刻不同的网络（但要求具有相同有向图）；不仅适用于电网络，也适用于非电网络。

（3）要求uk、ik方向相同；若方向相反，应为－ukik。

课后思考

1.特勒根定理的两种表达形式的区别是什么？

2.特勒根定理在使用时对电路参数的方向有无要求？

3.特勒根定理可否用于非线性电路呢？