叠加定理：在线性电路中的应用

拓展阅读莱昂·夏尔·戴维南

在数学中我们都知道，对于线性函数f（x），如果f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），f（ax）＝af（x），则f（ax1＋bx2）＝af（x1）＋bf（x2），其中a、b为任意常数。把这一原理运用到电路分析中，就形成了叠加定理。

叠加定理是线性电路中的一个重要定理。在有多个独立电源共同作用的线性电路中，任意一条支路的电流或者电压等于每个电源单独作用时，在该支路产生的电流或者电压的代数和。

例4－1　图4－1是一个简单的数/模转换电路。当开关接于US时，为高电位，即为1；当开关接于参考地时，为低电位，即为0。现在电路的二进制状态为1011。试用叠加定理分析该数字量对应的模拟电压UO。其中US＝16V。

列写步骤如下。

（1）电路分析。

图4－1所示的数/模转换器可以等效为图4－2，由4个电压源组成的电阻梯形电路。其中di（i＝0，1，2，3）的状态代表数字信号的输入状态。

图4－1　例4－1图

图4－2　例4－1等效图

（2）改画电路图。

根据叠加定理可以得到：UO＝U3＋U2＋U1＋U0，其中Ui（i＝0，1，2，3）分别为电压源diUS（i＝0，1，2，3）单独作用时在输出端产生的电压。因此，先让电压源d3US单独作用，其他电压源短路，则电路如图4－3所示。

（3）列出一个电源单独作用时的电路方程。

根据图4－3得到电路方程为

（4）列出另外各个电源单独作用时的电路方程。

按照上一步的分析过程，可以写出其余电压源单独作用所得到的输出电压方程。如图4－4所示，根据节点电压法可以写出Uc，即

图4－3　例4－1中d3US单独作用图

图4－4　例4－1中d2US单独作用图

由此类推，有

（5）将每个电源单独作用得到的输出电压相加，即

因为US＝16V，所以，二进制状态d3d2d1d0＝1011，则模拟输出电压为

最终可得经过图4－2所示的数/模转换电路，将二进制1101转换为11V的模拟十进制电压。

从上述电路的解题过程可以总结出叠加定理求解电路的一般步骤如下。

（1）首先确定电路的独立电源数，并作出每个独立电源单独作用时的电路图。

（2）对每个独立电源单独作用的电路图进行电路分析，求解电路物理量。

（3）求各个独立源单独作用所得到的电路物理量的代数和。

图4－5　练一练题图

练一练：电路如图4－5所示，R1＝200Ω，R2＝100Ω，US＝24V，IS＝1.5A，用叠加定理求支路电流I1和I2。(www.xing528.com)

解：（1）画出各个独立源单独作用的电路图。

（2）求解各个独立源单独作用时得到的I1和I2。

（3）求代数和。

例4－2　含受控源电路如图4－6（a）所示，试用叠加定理求电流I（电路参数已在图中标注）。

解题微课

图4－6　例4－2图

解：（1）画出分电路图如图4－6（b）和图4－6（c）所示。

（2）分别求出各个独立源单独作用时得到的电流I′和I″。

当20V电压源单独作用时，3A电流源开路，根据KVL列出方程，得

当3A电流源单独作用时，20V电压源短路，选B为参考点可列出节点方程为

注意：受控源始终保留在分电路中。

（3）求代数和，即

解题微课

本例说明采用叠加定理解含有受控源的电路时，需要将受控源始终保留在各分电路中。

练一练：电路如图4－7所示，用叠加定理求电路中的U。

（1）画出各个独立源单独作用的电路图。

（2）求解各个独立源单独作用时得到的U′和U″。

（3）求代数和，即U＝U′＋U″。

图4－7　练一练题图

知识点归纳

叠加定理是指在有两个或两个以上的独立电源作用的线性电路中，任一支路电流或两点电压都可以认为是电路中各个独立电源单独作用而其他独立电源为零（电流源开路、电压源短路）时，在该支路中产生的电流或者该两点间电压的代数和。

叠加定理在使用时需要特别注意以下几点：

（1）叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。

（2）电路中的受控源不是独立源，不能单独作用。

（3）叠加时需要注意电路参数的参考方向不可变化。

（4）叠加定理只能应用于电压和电流，不可以求解电路的功率。

课后思考

（1）电路中如果包含受控源，采用叠加定理时要如何求解？

（2）试证明为何不能用叠加定理求解电路的功率。

（3）叠加定理中非作用的独立电源应如何处理？