KCL和KVL的独立方程数量优化策略

应用KCL和KVL分析复杂电路时，并不是所有的节点和回路列出的方程都是彼此独立的，因此确定KCL和KVL的独立方程数就是分析电路的第一步。

例3－1　设有n＝4个节点、b＝6条支路的桥形电路如图3－1所示，列出电路中的独立KCL和KVL方程。

图3－1　例3－1图

解：（1）列出KCL方程。

电路有4个节点，可写出4个节点的KCL方程。

节点①：I1－I4－I6＝0

节点②：－I1－I2＋I3＝0

节点③：I2＋I5＋I6＝0

节点④：－I3＋I4－I5＝0

（2）KCL方程分析。

可以看出，4个方程之和等于零，即任一方程可由其余3个方程相加得到，故独立方程数为4－1＝3个。因此，可得出一般结论：对于n个节点、b条支路的电路，由于每条支路关联两个节点，对其中一个节点电流为流入时，对另一个节点电流必为流出。所以，在n个KCL方程中b条支路的电流必然都出现正、负值各一次，故n个KCL方程之和恒等于零。因此，KCL的独立方程数为n－1个，且为任意的n－1个。即求解电路问题时，只需选取n－1个节点来列出KCL方程。相应的n－1个节点称为独立节点，相应的方程也称为独立节点方程。(www.xing528.com)

（3）列出KVL方程。

电路有3个网孔，可写出3个网孔的KVL方程。

网孔1：U1＋U3＋U4＝0

网孔2：－U2－U3＋U5＝0

网孔3：U1－U2＋U6＝0

（4）KVL方程分析。

可以看出，每个方程所包含的支路电压不出现在其他方程中，所以这个方程不可能由其他两个方程的线性组合获得，因此这3个方程是独立的。

从上述电路的分析过程可以总结出电路中KCL和KVL独立方程数为：对于n个节点、b条支路的电路中，应用KCL对n个节点可以列n－1个独立的节点电流方程，而且是任意的n－1个节点电流方程。应用KVL对电路中的闭合回路可列出b－（n－1）个独立的KVL电压方程。因此，n－1个独立节点电流方程、b－（n－1）个独立回路电压方程和b条支路伏安关系方程，共有2b个独立的电路方程。由这2b个独立的电路方程，便可以解出2b个待求支路电流和支路电压变量。称这种分析方法为2b法。

知识点归纳

对于n个节点、b条支路的电路中，利用基尔霍夫定律，可列出的独立方程数如下。

（1）KCL电流独立的方程数为n－1个。

（2）KVL电压独立的方程数为b－（n－1）个。