在DQ坐标系下建立数学模型

研究永磁同步电动机的物理模型，常做如下的假设：

①忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间中互差120°，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；

②忽略磁路饱和，认为各绕组的自感和互感都是恒定的；

③忽略铁心损耗，不计涡流和磁滞损耗；

④不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响；

⑤转子上没有阻尼绕组，永磁体也没有阻尼作用。

通常，模型的数学建模由动态电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程组成。为方便公式书写，方程中统一用p表示微分算子d/dt。

1.电压方程

永磁同步电动机在ABC坐标系下的电压方程可写成

式中 u_A、u_B、u_C——定子相电压；

i_A、i_B、i_C——定子相电流；

ψ_A、ψ_B、ψ_C——定子磁链；

R_s——定子电阻。

在进行由ABC坐标系到dq坐标系变换时，应把定子的电压、电流和磁链都变换到dq坐标系上，以A相为例，由式（2-16）可得

把式（2-18）代入式（2-17）第一行，并整理后得

（u_d-R_si_d-pψ_d+ψ_qpθ）cosθ-（u_q-R_si_q-pψ_q-ψ_dpθ）sinθ=0 （2-19）

利用B相和C相求出的结果与A相结果相同。由于θ为任意值，可以得出cosθ和sinθ前面的因子均为零，于是得到永磁同步电动机在dq坐标系下的电压方程为

2.磁链方程

由于凸极效应的存在，定子绕组的磁链不仅与三相绕组有关，而且和转子永磁磁场及转子相对定子绕组的位置有关。其在ABC坐标系下的磁链方程可写成

式中 ψ_r——转子磁链，磁链磁通由永久磁铁决定，是恒定不变的；

L_AA、L_BB、L_CC——定子三相绕组的自感；

M_AB、M_AC、M_BC、M_BA、M_CA、M_CB——定子三相绕组每两相之间的互感，且M_AB=M_BA，M_AC=M_CA，M_BC=M_CB。

定子绕组电感分为一相自感和两相互感。定子绕组电感与绕组本身结构和电动机磁路结构有关，在磁路线性情况下，与绕组中流过的电流大小无关。无论是定子一相自感还是两相互感都由两部分组成，一个是仅与定子漏磁路有关的漏电感，另一个是与气隙及定转子主磁路密切相关的主电感。漏电感与齿槽结构、线圈形式和绕组端部结构尺寸有关，一般而言，漏电感所占比重较小。

主电感与主磁路有关，因而与转子位置角和气隙磁导分布关系密切。如果存在dq轴的凸极效应，那么永磁同步电动机的等效气隙不再均匀。对定子某一相绕组来说，当转子直轴与该相绕组轴重合时，该相绕组面对的是直轴气隙；而当交轴与该轴绕组的轴线一致时，面对的是交轴气隙，因为直轴与交轴的气隙长度总是处于电动机气隙的两个极端位置，也就是说这两个位置面对的是最大和最小两个磁导。可见气隙磁导分布是按照转子位置角的偶次谐波变化的。因此，忽略高次谐波，主电感可由主电感平均值和2次谐波幅值表示。

经推导可得自感为

式中 L₁——绕组自身的漏电感；

L₀——主电感平均值；

L₂——2次谐波幅值。(www.xing528.com)

根据永磁同步电动机转子qd轴的磁导，当λ_d＞λ_q时，L₂＞0；当λ_d＜λ_q时，L₂＜0；当λ_d=λ_q时，L₂=0。由式（2-22）可以看出，定子绕组自感在直轴与交轴的等效气隙不相同时，自感按照转子位置角的2次频率变化。

现在来计算任意两相绕组之间的互感。与自感类似，两相绕组之间的互感存在漏互感和主磁路互感两部分，由于漏互感M_l为常数，互感主要与主磁路互感的变化有关。经推导，可得互感为

由式（2-23）可以看出，互感是按照转子位置角的2次频率变化的。自感和互感合在一起成为电感矩阵，由于电感矩阵中有变参数θ，显然这个矩阵方程是比较复杂的，利用式（2-15）的变换阵将定子三相磁链ψ_A、ψ_B、ψ_C变换到dq坐标系上，再利用式（2-16）的变换阵将i_A、i_B、i_C用i_d、i_q表示，则式（2-21）变为：

式中

运算后经过整理，得到永磁同步电动机在dq坐标系下的磁链方程为

式中 L_d、L_q——定子绕组在d轴、q轴的电感，其值为

由式（2-27）可知，在dq坐标系下，电感参数与转子位置无关，这正是进行坐标变换的基本目的之一。

3.电磁转矩方程

电磁转矩可由功率推导得出。永磁同步电动机获得的输入功率等于每一相电压与电流的乘积之和，表示为

P_in=u^T_ABCi_ABC=u_Ai_A+u_Bi_B+u_Ci_C （2-28）

利用坐标变换阵式（2-6）代入式（2-28），得到

由式（2-29）可知，输入功率经过坐标变换后在形式上发生了变化，其大小为在dq坐标系下提供的输入功率P′_in的3/2。这是因为坐标变换阵不是由恒功率变换规则得到的。因此，在dq坐标系下得到的输入功率和电磁转矩都为实际功率和转矩（ABC坐标系下）的2/3。

为进一步分析输入功率，把式（2-20）代入式（2-29）得到

由式（2-30）可见，输入功率由三部分组成。第一部分是电动机的电阻损耗；第二部分反映了电动机内部的储能变化；只有第三部分是真正参与能量转化的部分，为电动机的电磁功率P_e。因而，电磁转矩为

式中 p_n——电动机极对数，有如下关系：p_n=ω/Ω。

再将式（2-26）代入式（2-31），最后得到永磁同步电动机在dq坐标系下的转矩方程为

T_e=p_nψ_ri_q+p_n（L_d-L_q）i_di_q （2-32）

观察式（2-32）各项，不难看出每一项转矩的物理意义。第一项p_nψ_ri_q是转子磁动势和定子电枢反应磁动势转矩分量相互作用产生的转矩，是同步电动机主要的电磁转矩；第二项p_n（L_d-L_q）i_di_q是由凸极效应造成的磁阻变化在电枢反应磁动势作用下产生的转矩，即磁阻转矩，这是凸极电动机特有的转矩。在隐极电动机中，因为L_d=L_q，所以该项为零。

4.运动方程

永磁同步电动机的电磁转矩不仅要驱动负载，还要克服转子的摩擦阻尼和惯性作用，这样可以得出转矩平衡运动方程为

式中 T_L——负载转矩；

ω——转子角速度；

p_n——电动机极对数；

J——系统转动惯量；

B——系统转子黏滞摩擦系数。

将式（2-20）、式（2-26）、式（2-32）和式（2-33）组合起来，便构成了三相交流永磁同步电动机的数学模型，根据上述数学模型，可以推导出更准确的矢量控制算法，得到更复杂的永磁同步电动机矢量控制系统。