几何公差原则及注意事项

任务描述与要求

图4 - 49 所示为轴套类零件的几何公差，其中A1 = A2 = A3 = … = 20.01 mm，试填出图4 - 49中所列各值并判断该零件是否合格。

图4-49　轴套类零件的几何公差　

任务分析

要完成此任务，学生需了解有关公差原则的术语及定义，以及独立原则、包容要求、最大实体要求和最小实体要求等内容。

任务知识准备

通常情况下，零件既有尺寸精度的要求，也有几何精度的要求，而公差原则是处理尺寸公差与几何公差之间关系的原则，有独立原则和相关要求。其中相关要求是图样上给定的尺寸公差和几何公差相互有关的公差要求，含包容要求、最大实体要求（MMR）和最小实体要求（LMR）。

一、有关几何公差原则的术语及定义

1. 体外作用尺寸（Dfe、dfe）

在被测要素的给定长度上，与实际轴（外表面）体外相接的最小理想孔（内表面）的直径（或宽度）称为孔的体外作用尺寸Dfe，如图4 - 50（a）所示；与实际孔（内表面）体外相接的最大理想轴（外表面）的直径（或宽度）称为轴的体外作用尺寸dfe，如图4 - 50（b）所示。

图4-50　孔和轴的作用尺寸　

（a）孔的体内、外作用尺寸；（b）轴的体内、外作用尺寸

2. 体内作用尺寸（Dfi、dfi）

在被测要素的给定长度上，与实际轴（外表面）体内相接的最大理想孔（内表面）的直径（或宽度）称为孔的体内作用尺寸Dfi，如图4 - 50（a）所示；与实际孔（内表面）体内相接的最小理想轴（外表面）的直径（或宽度）称为轴的体内作用尺寸dfi，如图4 - 50（b）所示。

注意：作用尺寸是局部实际尺寸与形位误差综合形成的结果，是存在于实际孔、轴上的，表示其装配状态的尺寸。

3. 最大实体状态和最大实体尺寸

最大实体状态MMC 是指实际要素在给定长度上，处处位于极限尺寸之间并且实体最大（占有材料量最多）时的状态。最大实体状态下对应的极限尺寸称为最大实体尺寸MMS。显然，孔的最大实体尺寸DM 就是孔的最小极限尺寸Dmin，即

轴的最大实体尺寸dM 就是孔的最大极限尺寸dmax，即

4. 最小实体状态和最小实体尺寸

最小实体状态LMC 是指实际要素在给定长度上，处处位于极限尺寸之间并且实体最小（占有材料量最少）时的状态。最小实体状态对应的极限尺寸称为最小实体尺寸LMS。显然，孔的最小实体尺寸DL 就是孔的最大极限尺寸Dmax，即

轴的最小实体尺寸dL 就是孔的最小极限尺寸dmin，即

5. 最大实体实效状态和最大实体实效尺寸

最大实体实效状态MMVC 是指在给定长度上，实际要素处于最大实体状态，且其中心要素的形状或位置误差等于给出公差值时的综合极限状态。最大实体实效状态对应的体外作用尺寸称为最大实体实效尺寸MMVS。对于孔，它等于最大实体尺寸DM 减去带有Ⓜ的几何公差值t，即

对于轴，它等于最大实体尺寸dM 加上带有Ⓜ的几何公差值t，即

6. 最小实体实效状态和最小实体实效尺寸

最小实体实效状态LMVC 是指在给定长度上，实际要素处于最小实体状态，且其中心要素的形状或位置误差等于给出公差值时的综合极限状态。最小实体实效状态对应的体内作用尺寸称为最小实体实效尺寸LMVS。对于孔，它等于最小实体尺寸DL 加上带有Ⓛ的几何公差值t，即

对于轴，它等于最小实体尺寸dM 减去带有Ⓛ的几何公差值t，即

小提醒　

注意：最大实体状态和最小实体状态只要求具有极限状态的尺寸，不要求具有理想形状的尺寸。最大实体实效状态和最小实体实效状态只要求具有实效状态的尺寸，不要求具有理想形状的尺寸。最大实体状态和最大实体实效状态由带有Ⓜ的几何公差值t 相联系；最小实体状态和最小实体实效状态由带有Ⓛ的几何公差值t 相联系。

7. 边界

边界是设计所给定的具有理想形状的极限包容面。这里需要注意的是，孔（内表面）的理想边界是一个理想轴（外表面），轴（外表面）的理想边界是一个理想孔（内表面）。依据极限包容面的尺寸，理想边界有最大实体边界MMB、最小实体边界LMB、最大实体实效边界MMVB 和最小实体实效边界LMVB，如图4 - 51 所示。为方便记忆，以上有关公差原则的术语及对应的表示符号和公式见表4 - 2。

图4-51　理想边界示意图　

（a）单一孔的最大实体边界；（b）单一轴的最大实体边界；（c）单一孔的最大实体实效边界； （d）单一轴的最大实体实效边界；（e）关联孔的最大实体实效边界；（f）关联轴的最大实体实效边界； （g）单一孔的最小实体实效边界；（h）关联轴的最小实体实效边界

表4-2　公差原则的术语及对应的表示符号和公式

二、独立原则

独立原则是几何公差和尺寸公差不相干的公差原则，或者说几何公差和尺寸公差要求是各自独立的。大多数机械零件的几何精度都是遵循独立原则的，尺寸公差控制尺寸误差，几何公差控制形位误差，图样上无须任何附加标注。尺寸公差包括线性尺寸公差和角度尺寸公差，以及未注公差的尺寸标注，其都是独立公差原则的实例。

独立原则的适用范围较广，尺寸公差和几何公差在两者要求都严、一严一松或两者要求都松的情况下，使用独立原则都能满足要求。例如，印刷机滚筒几何公差要求严、尺寸公差要求松；通油孔几何公差要求松、尺寸公差要求严；连杆的小头孔尺寸公差、几何公差要求都严，如图4 - 52 所示。

图4-52　独立原则的适用示例　

（a）印刷机滚筒；（b）通油孔；（c）连杆

三、相关要求

1. 包容要求

包容要求适用于圆柱表面或两平行称表面，表示提取组成要素不得超越其最大实体边界（MMB），其局部尺寸不得超出最小实体尺寸（LMS）。不得超越的意思是不能越过边界到另一侧；不得超出的意思是提取组成要素必须留在尺寸公差带内部，对于轴是大于等于，对于孔是小于等于。采用包容要求的尺寸要素应在其尺寸极限偏差或公差带代号之后加注符号Ⓔ。

如图4 - 53（a）所示，对于图中的轴，提取组成要素不得超越直径为φ 35.1 mm 的最大实体边界（MMB），同时其局部尺寸da 不得小于最小实体尺寸φ 34.9 mm，如图4 - 53（b）所示。如果被测要素是φ 35 mm±0.1 mm 的孔，则提取组成要素不得超越直径为φ 34.9 mm 的最大实体边界（MMB），同时其局部尺寸Da 不得大于最小实体尺寸φ 35.1 mm。

几何误差由几何公差控制，相关要求的几何公差带是动态公差带，也就是说几何公差值与提取组成要素的局部尺寸有关。对于包容要求，最大实体状态下的几何公差值为0，当被测实际要素偏离最大实体状态时，几何公差获得补偿，补偿值即是偏离量。最小实体状态下几何公差值最大，即尺寸公差。

如图4 - 53（c）所示，当提取组成要素的局部尺寸da 等于最大实体尺寸φ 35.1 mm 时，几何公差为0，不允许直线度有误差；当提取组成要素的局部尺寸da 小于φ 35.1 mm 时，几何公差获得补偿，如当da 等于φ 35 mm 时，提取组成要素的局部尺寸偏离最大实体尺寸的量为35.1 - 35 = 0.1（mm），故此时几何公差为0.1 mm；当da 等于φ 34.95 mm 时，偏离量为35.1 - 34.95 = 0.15（mm），故此时几何公差为0.15 mm；当提取组成要素的局部尺寸等于最小实体尺寸φ 34.9 mm 时，偏离量最大，几何公差为尺寸公差0.2 mm，允许直线度有0.2 mm 以内的误差。

包容要求

图4-53　包容要求　

2. 最大实体要求　

最大实体要求（MMR）和最小实体要求（LMR）涉及组成要素的尺寸和几何公差的相互关系，这些要求只用于尺寸要素的尺寸及其导出要素几何公差的综合要求。(www.xing528.com)

最大实体要求用Ⓜ表示，可分为两种情况，应用于注有公差的要素或基准要素。

1）最大实体要求应用于注有公差的要素

符号Ⓜ标注在导出要素的几何公差值后（占同一格），如图4 - 54（a）所示，对尺寸要素的表面有以下规定。

（1） 提取组成要素的局部尺寸不得超出最大实体尺寸。不得超出的意思对于轴是小于等于，对于孔是大于等于。

（2） 提取组成要素的局部尺寸不得超出最小实体尺寸。不得超出的意思对于轴是大于等于，对于孔是小于等于。

以上两条其实就是尺寸公差合格的条件。

（3） 注有公差的要素的提取组成要素不得违反其最大实体实效状态或最大实体实效边界。

（4） 当一个以上注有公差的要素用同一公差标注，或者是注有公差的要素的导出要素标注方向或位置公差时，其最大实体实效状态或最大实体实效边界要与各自基准的理论正确方向或位置相一致。

最大实体要求

图4-54　最大实体要求应用于注有公差的要素　

最大实体要求的几何公差带也是动态公差带，最大实体状态下的几何公差值为标出值，当被测实际要素偏离最大实体状态时，几何公差获得补偿，补偿值即是偏离量。最小实体状态下几何公差值最大，为尺寸公差与标出几何公差之和。

如图4 - 54（c）所示，当提取组成要素的局部尺寸da 等于最大实体尺寸φ 35 mm 时，几何公差为注出值0.1 mm；当提取组成要素的局部尺寸da 小于φ 35 mm 时，几何公差获得补偿，如当 da 等于φ 34.95 mm 时，提取组成要素的局部尺寸偏离最大实体尺寸的量为35 - 34.95 = 0.05（mm），故此时几何公差为注出值加补偿量0.1 + 0.05 = 0.15（mm）；当提取组成要素的局部尺寸等于最小实体尺寸φ 34.9 mm 时，偏离量最大，等于公差值0.1 mm，实际几何公差为0.1 + 0.1 = 0.2（mm），允许直线度有0.2 mm 以内的误差。

2）最大实体要求应用于基准要素

符号Ⓜ标注基准字母后，如图4 - 55（a）所示，对基准要素的表面有以下规定。

（1） 基准要素的提取组成要素不得违反基准要素的最大实体实效状态或最大实体实效边界。

（2） 当基准要素的导出要素没有标注几何公差要求，或者注有几何公差但其后没有符号Ⓜ时，基准要素的最大实体实效尺寸为最大实体尺寸。

（3） 当基准要素的导出要素注有形状公差，且其后有符号Ⓜ时，基准要素的最大实体实效尺寸为MMS 加上（对外部要素）或减去（对内部要素）该形状公差值后的值。

“最大实体要求应用于注有公差的要素”改变的是几何公差带的大小，只要尺寸要素偏离最大实体尺寸，公差带就会增大。“最大实体要求应用于基准要素”改变的是几何公差带的位置，只要基准要素偏离最大实体尺寸，公差带就可以移动，移动范围由偏离量决定。两种最大实体要求经常一起使用，使得公差带增大的同时，位置也可以移动，从而令装配变得更容易。

若取一个横截面来观察公差带的话，如果注有公差的要素和基准要素都处于最大实体状态，即其尺寸分别为φ 35 mm 和φ 45 mm，则几何公差带位于理论位置，公差值为注出值φ 0.1 mm，如图4 - 55（b）所示；当注有公差的要素偏离最大实体状态，即其尺寸在φ 35 mm和φ 34.9 mm 之间变化时，几何公差在φ 0.1 mm 和φ 0.2 mm 之间变化，到达最小实体尺寸φ 34.9 mm 时，几何公差为φ 0.2 mm，如图4 - 55（c）所示；当基准要素偏离最大实体状态，即其尺寸在φ 45 mm 和φ 44.9 mm 之间变化时，几何公差带相对理论正确位置可以有浮动，浮动量在φ 0 mm 和φ 0.1 mm 之间变化，当基准要素到达最小实体尺寸φ 44.9 mm 时，最大浮动量为φ 0.1 mm，如图4 - 55（d）所示；如果注有公差的要素和基准要素都处于最小实体状态，则可以同时得到最大的几何公差值和最大浮动量，如图4 - 55（e）所示。

图4-55　最大实体要求应用于基准要素　

3. 最小实体要求　

最小实体要求和最大实体要求非常相似，用Ⓛ表示，也可分为两种情况，应用于注有公差的要素或基准要素。

1）最小实体要求应用于注有公差的要素

符号Ⓛ标注在导出要素的几何公差值后（占同一格），如图4 - 56（a）所示，对尺寸要素的表面有以下规定。

（1） 提取组成要素的局部尺寸不得超出最小实体尺寸。不得超出的意思对于轴是大于等于，对于孔是小于等于。

（2） 提取组成要素的局部尺寸不得超出最大实体尺寸。不得超出的意思对于轴是小于等于，对于孔是大于等于。

以上两条其实就是尺寸公差合格的条件。

（3） 注有公差的要素的提取组成要素不得违反其最小实体实效状态或最小实体实效边界。

（4） 当一个以上注有公差的要素用同一公差标注，或者是注有公差的要素的导出要素标注方向或位置公差时，其最小实体实效状态或最小实体实效边界要与各自基准的理论正确方向或位置相一致。

2）最小实体要求应用于基准要素

符号Ⓛ标注在基准字母后，如图4 - 56（b）所示，对基准要素的表面有以下规定。

（1） 基准要素的提取组成要素不得违反基准要素的最小实体实效状态或最小实体实效边界。

（2） 当基准要素的导出要素没有标注几何公差要求，或者注有几何公差但其后没有符号Ⓛ时，基准要素的最小实体实效尺寸为最小实体尺寸。

（3） 当基准要素的导出要素注有形状公差，且其后有符号Ⓛ时，基准要素的最小实体实效尺寸为LMS 减去（对外部要素）或加上（对内部要素）该形状公差值后的值。

最小实体要求应用并不广泛，了解即可。

最小实体要求

图4-56　最小实体要求应用于基准要素　

4. 可逆要求

可逆要求（RPR）是最大实体要求（MMR）或最小实体要求（LMR）的附加要求，不能单独使用，在图样上用符号Ⓡ标注在Ⓜ或Ⓛ之后，如图4 - 57（a）所示。可逆要求仅用于注有公差的要素，使最大实体要求或最小实体要求的规定失效。也就是说，没有可逆要求时，只允许尺寸公差补偿几何公差，有了可逆要求，意味着几何公差也可以用于补偿尺寸公差，其最大实体实效状态或最小实体实效状态的尺寸不变，如图4 - 57（b）所示，只是充分利用了这个尺寸。其动态公差带如图4 - 57（c）所示。

图4-57　可逆要求　

任务实施

由式（4 - 1）可知，最大实体尺寸（MMS）为

由式（4 - 3）可知，最小实体尺寸（LMS）为

MMC 时的轴线直线度公差为

LMC 时的轴线直线度公差为

由式（4 - 5）可知，最大实体实效尺寸（MMVS）为

体外作用尺寸为

图4-49 中各值如图4-58 所示。

图4-58　计算数值