（1）外摆线齿形曲线 图1-2中半径为R1的动圆O1沿半径为R的定圆O的外圆作纯滚动（即无滑动的滚动）时，动圆O1上的一点N的运动轨迹NM称为外摆线。N点称为摆点，也称描绘点；动圆也称为发生圆。
为了简化后面的方程式，将Y0轴设置在通过曲线的起点。
由图1-2可知，外摆线上任意点M的坐标值为
式中 θ——定圆圆心O至M点的半径和Y0轴之间的夹角，称为齿形极角。
图1-2 外摆线
若Y0轴不通过曲线的起点，而与曲线的起点成θ0角时，则有关公式的变化将在本节坐标系旋转中讲述。
由图1-2可知，对于外摆线上任意点M，O1′M=R1。为了与后面叙述的长幅外摆线和短幅外摆线表达一致，此处将O1′M表示为PM。动圆O1转了ΦM角，定圆O相应地也转了角Φ，由于两圆作纯滚动，其滚动的圆弧也相等，由此可得
因为Φ=iΦM
θ=θ+Φ-Φ=iΦM-（Φ-θ） （1-3）
由图1-2中的△OMO1′可得
式中 ΦM——动圆转角，称为螺杆的齿形转角；
RM——定圆圆心O至外摆线上任意点M之间的距离；
C——定圆O与动圆O1两圆心之间的距离为O1′O，C=R+R1。
所以，将式（1-4）和式（1-5）代入式（1-3），可得外摆线的极坐标方程式：
可见，只需要知道M点的半径RM，即摆点N摆至M点的半径和动圆的半径R1，就可以求得θ，从而由式（1-1）可得M点的坐标值X0M和Y0M。
从式（1-1）也可推导得到M点的直角坐标方程式：
X0M=RMsin（Φ-Φ+θ）=RMsinΦcos（Φ-θ）-RMcosΦsin（Φ-θ） （1-7）
由△OMO′得
RMsin（Φ-θ）=PMsinΦM （1-8）
RMcos（Φ-θ）=C-PMcosΦM （1-9）
将式（1-8）和式（1-9）代入式（1-7），得
X0M=（C-PMcosΦM）sinΦ-PMsinΦMcosΦ=CsinΦ-PMsin（Φ+ΦM）
同理可得
Y0M=RMcos（Φ-Φ+θ）=CcosΦ-PMcos（Φ+ΦM）
所以，外摆线任意点M的直角坐标方程为
由式（1-2）可知，式（1-10）中的Φ和ΦM，实际上就是一个参数。改变ΦM，可以从式（1-10）得到外摆线的齿形曲线，故ΦM角称之为齿形转角。
所以，极角θ也可由直角坐标得到
设计螺杆泵时，往往是已选定了齿形曲线及其二端的半径，然后求其角度和坐标值。若已知外摆线齿形曲线的两端半径，则从式（1-5）可求得ΦM，再将ΦM代入式（1-2），即可求得齿形曲线两端的齿形转角Φ。显然，采用极坐标参数方程式（1-1）和式（1-6）来求其角度和坐标值，比用直角坐标参数方程式方便。
上述的外摆线方程式是在动圆O1沿定圆O作顺时针方向滚动时得到的。若动圆沿定圆作逆时针方向滚动，则由图1-2可看出，X0M应为负值，故式（1-10）和式（1-11）中的有关正负号也应作相应的变动。在下面叙述的各种摆线齿形曲线时，情况相似，将不再赘述。
（2）长幅外摆线齿形曲线 当半径R1的动圆O1沿半径为R的定圆O的外圆作纯滚动时，与动圆O1固定的圆外一点N的运动轨迹NM称为长幅外摆线。N点即为摆点。
由图1-3可得
与前面叙述的外摆线相似，可知：
因为Φ=iΦM
θ=θ+Φ-Φ=θ+Φ-iΦM （1-13）
图1-3 长幅外摆线
式中 RM——定圆圆心从O至长幅外摆线上任意点M之间的距离；
PM——动圆圆心O1′至长幅外摆线上任意点M之间的距离；
C——定圆O与动圆O1′两圆心之间的距离为O1′O，C=R+R1。
所以，将式（1-14）和式（1-15）代入式（1-13）可得长幅外摆线的极坐标方程式为
可见，只需要知道摆线N摆至M点的半径RM和摆点半径PM，就可以求得θ角，从而由式（1-12）可得M点的坐标值X0M和Y0M。
与外摆线的推导相仿，从式（1-12）也可推导得出长幅外摆线的齿形任意点M点的直角坐标参数方程式
所以，极角θ也可由直角坐标得到
（3）短幅外摆线齿形曲线 当半径R1的动圆O1沿半径为R的定圆O的外圆作纯滚动时，与动圆O1固定的圆内一点N的运动轨迹NM称为短幅外摆线。N点即为摆点。
由图1-4可知，短幅外摆线上任意点M的坐标值为
与上述同理，可以推得
因为Φ=iΦM
θ=θ+Φ-Φ
=iΦM-（Φ-θ） （1-20）(www.xing528.com)
图1-4 短幅外摆线
式中 C——定圆O与动圆O1′两圆心之间的距离为O1′O，C=R+R1；
PM——动圆圆心O1′至短幅外摆线上任意点M之间的距离；
RM——定圆圆心O至短幅外摆线上任意点M之间的距离。
所以，将式（1-21）和式（1-22）代入式（1-20），可得短幅外摆线的极坐标方程式为
同上所述，由式（1-19）可推导得出短幅外摆线齿形曲线任意点M的直角坐标参数方程式
所以，极角θ也可由直角坐标得到
（4）内摆线齿形曲线 当半径R1的动圆O1沿半径为R的定圆O的内圆作纯滚动时，动圆O1上的点N的运动轨迹NM称为内摆线。N点即为摆点。
由图1-5可知，内摆线上任意点M的坐标值为
与外摆线同理，对于内摆线上任意点M，O1′M=R1，并将O1′M用PM表示，可得
因为Φ=iΦM
θ=θ+Φ-Φ=θ+Φ-iΦM （1-27）
式中 C——定圆O与动圆O′1两圆心之间的距离为O1′O，C=R-R1；
图1-5 内摆线
PM——动圆圆心O1′至内摆线上任意点M之间的距离；
RM——定圆圆心O至内摆线上任意点M之间的距离。
由图1-5中△OMB和△O1′MB可得
R2M=P2Msin2ΦM+（C+PMcosΦM）2=P2M+C2+2CPMcosΦM
将式（1-28）和式（1-29）代入式（1-27），可推得内摆线的极坐标方程式为
由△OMO1′和△O1MB可得
RMsin（Φ+θ）=PMsinΦM （1-30）
RMcos（Φ+θ）=C+PMcosΦM （1-31）
将式（1-30）、式（1-31）代入式（1-26），可得内摆线齿形曲线任意点M的直角坐标参数方程式：
即
所以，极角θ也可由直角坐标得到：
同理也可类推得长幅内摆线和短幅内摆线的有关方程式，在此就不再赘述。
（5）坐标系转换 由图1-2、图1-3、图1-4和图1-5可知，上述几种摆线上的任意点M的坐标值均是在X0OY0坐标系中，齿形曲线的起点通过Y0轴。实际上，螺杆泵螺旋面的齿形曲线大都是由多段曲线组合而成，各段曲线的起点和极角θ都不相同，为使齿形曲线有共同的坐标系，就需要规定共同的坐标系XOY。因此，各段曲线的起点N到坐标系旋转后的共同坐标系XOY的Y轴之间就有一角度θ0（Y轴就是各段曲线共同的纵轴）。通过这样的坐标旋转后，齿形曲线上任意点M到Y轴之间的极角就由原来的θ角变成了θ+θ0。显然，转换到共同坐标系XOY中的坐标值，由式（1-1）、式（1-12）、式（1-19）和式（1-26）变为
所以，从式（1-34）可推得坐标系旋转了θ0角后的直角坐标参数方程式，对于外摆线为
即：
将式（1-8）和式（1-9）代入式（1-35），得
所以，极角θ也可由直角坐标得到：
可见用极坐标参数方程式（1-6）和式（1-34）比用直角坐标参数方程式求极角θ和坐标值X0M、Y0M要方便。
同理可推得长幅外摆线的坐标系转了θ0角后的直角坐标参数方程式为
极角θ也可由直角坐标得到：
短幅外摆线的坐标系转了θ0角后，其直角坐标参数方程式为
极角θ为
内摆线的坐标系转了θ0角后，其直角坐标参数方程式为
极角θ为
同理也可得到长幅内摆线和短幅内摆线的有关方程式，在此不再赘述。
若上述各种摆线其动圆滚动的方向相反，则这些方程式中的有关正负符号均需作相应改变。
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