测量模型与不确定度来源分析

测量模型，简称模型，是指测量中涉及的所有已知量间的数学关系。测量模型的通用形式是方程：f（Y，X₁，…，X_n）=0，其中测量模型中的输出量Y是被测量，其量值由测量模型中输入量X₁，…，X_n的有关信息推导得到。在测量模型中，输入量与输出量间的函数关系又称测量函数。

建立测量模型，即被测量与各输入量之间的函数关系。若Y的测量结果为y，输入量X_i的估计值为x_i，则y=f（x₁，x₂，…，x_n）。在建立模型时要注意有一些潜在的不确定度来源不能明显地呈现在上述函数关系中，它们对测量结果本身有影响，但由于缺乏必要的信息无法写出它们与被测量的函数关系，因此在具体测量时无法定量地计算出它们对测量结果影响的大小，在计算公式中只能将其忽略而作为不确定度处理。测量不确定度的模型如图6-2所示。

图6-2 测量不确定度的模型

一、测量不确定度的来源

测量不确定度来源的识别应从分析测量过程入手，即对测量方法、测量系统和测量程序作详细研究，为此必要时应尽可能画出测量系统原理或测量方法的方框图和测量流程图。

检测和校准结果不确定度可能来自以下10个方面。

（1）对被测量的定义不完整或不完善；

（2）实现被测量的定义的方法不理想；

（3）取样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量；

（4）对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善；

（5）对模拟仪器的读数存在人为偏移；

（6）测量仪器的计量性能（如最大允许误差、灵敏度、鉴别力、分辨力、死区及稳定性等）的局限性，即导致仪器的不确定度；

（7）赋予计量标准的值或标准物质的值不准确；

（8）引用于数据计算的常量和其他参量不准确；

（9）测量方法和测量程序的近似性和假定性；

（10）在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化。

分析时，除了定义的不确定度外，可从测量仪器、测量环境、测量人员、测量方法等方面全面考虑，特别要注意对测量结果影响较大的不确定度来源，应尽量做到不遗漏、不重复。

二、测量不确定度评定 （分量)

（一）标准不确定度的A类评定

1. 贝塞尔公式法

贝塞尔公式法是指在重复性条件下或复现性条件下对同一被测量（一个被测件）独立重复观测n次，得到n个观测值x_i（i=1，2，…，n），被测量X的最佳估计值是n个独立测得值的算术平均值，按式（6-1）计算：

单个测得值x_k的实验方差s² （x_k），按式（6-2）计算：

单个测得值x_k的实验标准偏差s（x_k），按式（6-3）计算：

式（6-3）是贝塞尔公式，自由度ν为n-1。实验标准偏差s（x_k）表征了测得值x的分散性，测得重复性用s（x_k）表征。

被测量估计值的A类标准不确定度，按式（6-4）计算：

A类标准不确定度的自由度为实验标准偏差的自由度，即v=n-1。实验标准偏差表征了被测量估计值x的分散性。

2. 评定合并标本标准偏差

评定合并标本标准偏差是指若对每个被测件的被测量X_i在相同条件下进行n次独立测量，测得值为x_i1，x_i2，…，x_{i n}，其平均值为；若有m个被测件，则有m组这样的测得值，可按式（6-5）计算单个测得值的合成样本标准偏差s_p（x_k）：

式中 i——组数，i=1，2，…，m；

j——每组测量的次数，j=1，2，…，n。

式（6-5）给出的s_p（x_k），其自由度为m（n-1）。

若对每个被测件已分别按n次重复测量算出了其实验标准偏差s_i，则m组测得值的合并样本标准偏差s_p（x_k）可按式（6-6）计算：

当实验标准偏差s_i的自由度均为v₀ 时，式（6-6）给出的自由度为mv₀。

若对m个被测量X_i分别重复测量的次数不完全相同时，设各为n _i，而X_i的实验标准偏差s （x_i）的自由度为v_i，通过m个s_i与v_i可得s_p（x_k）按式（6-7）计算：

式（6-7）中给出s_p（x_k）的自由度为。

有上述方法对某个被测件进行n′次测量时，所得测量结果最佳估计值的A类标准不确定度为：

用这种方法可以增大评定的标准不确定度的自由度，也就提高了可信程度。

3. 预评估重复性

预评估重复性是指在日常开展同一类被测件的常规检定、校准或检测工作中，如果测量系统稳定，测得重复性无明显变化，则可用该测量系统以与测量被测件相同的测量程序、操作者、操作条件和地点，预先对典型的被测件的典型被测量值进行n次测量（一般n不小于10），由贝塞尔公式计算出单个测得值的实际标准偏差s（x_k），即测量重复性。在对某个被测件实际测量时可以只测量n′次（1≤n′＜n），并以n′次独立测量的算术平均值作为被测量的估计值，则该被测量估计值由于重复性导致的A类标准不确定度按式（6-9）计算：

用这种方法评定的标准不确定度的自由度仍为v=n-1。注意：当怀疑被测量重复性有变化时，应及时重新测量和计算实验标准偏差s（x_k）。

4. A类评定流程

A类评定流程如图6-3所示。

图6-3 标准不确定度A类评定流程图

（二）标准不确定度的B类评定

1. B类不确定度评定的信息来源

假如实验室拥有足够多的时间和资源，就可以对不确定度的每个了解到的原因进行详尽的统计分析研究，理论上，所有不确定度分量都可以通过用A类评定得到，这是往往做不到的；不但经济不允许，而且浪费大量人力，其实很多不确定度分量实际上可以通过其他方法来评定。

当被测量X的估计值x_i不是由重复观测得到，其标准不确定度u （x_i）可用x_i的可能变化的有关信息或资料来评定。B类评定的信息来源有以下6个方面。

（1）权威机构发布的量值；

（2）有证标准物质的量值；

（3）校准证书；

（4）仪器的漂移；

（5）经检定的测量仪器的准确度等级；

（6）根据人员经验推断的极限值等以前的观测数据。

用这类方法得到的估计方差u² （x_i），可简称为B类方差。

2. B类不确定度的评定方法

（1）已知置信区间和包含因子B类评定的方法是根据有关的信息或经验，判断被测量的可能值区间 [-a，+a]，假设被测量值的概率分布，根据概率分布和要求的包含概率p估计因子k，则B类标准不确定度u_B（x）可由公式（6-10）得到：

式中 a——被测量可能值区间的半宽度；

k——对应置信水准的包含因子。

区间半宽度a的确定：①生产厂提供的测量仪器的最大允许误差为±△，或由手册查出所用的参考数据误差限为±△，或当测量仪器或实物量具给出准确度等级等，并经计量部门检定合格，则评定仪器的不确定度时，可能值区间的半宽度为：a=△；②校准证书提供的校准值，给出了其扩展不确定度为U，则区间的半宽度为：a=U；③由有关资料查得某参数的最小可能值为a-和最大值为a+，最佳估计值为该区间的中点，则区间半宽度可以用下式估计：a=（a+-a-）/2；④必要时，可根据经验推断某量值不会超出的范围，或用实验方法来估计可能的区间。

（2）已知扩展不确定度U和包含因子k加入估计值来源与制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，同时还明确给出了其扩展不确定度U（x_i）是标准差s （x_i）的k倍指明了包含因子k的大小，则标准不确定度u_B（x_i）可取U（x_i）/k，而估计方差u²（x_i）为其平方。

（3）已知扩展不确定度U_p和置信水准p的正态分布 假如x_i的扩展不确定度不是按照标准差s（x_i）的k倍给出，而是给出了置信水准p和置信区间的半宽U_p，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定度u_B（x_i）。

正态分布的置信水准p与包含因子k_p之间存在着表6-2所示的关系。

表6-2 正态分布情况下置信水准p与包含因子k_p间的关系

（4）已知扩展不确定度U_p以及置信水准p与有效自由度v_{e ff}的t分布

假如x _i的扩展不确定度不仅给出了扩展不确定度U_p以及置信水准p，而且给出了有效自由度v_eff或包含因子k_p，这时必须按t分布处理。

这种情况提供给不确定度评定的信息比较齐全，常出现现在标准仪器的校准证书上。

（5）其他分布 除了正态分布和t分布以外，其他常见的分布还有均匀分布、反正弦分布、三角分布、梯形分布及两点分布等，详见JJF 1059—1999《测量不确定度》的附录B。

加入已知信息表明X_i之值x_i分散区间的半宽为a，且x_i落于x_i -a至x_i +a区间的概率p为100%，即全部落在此范围中，通过对其分布的估计，可以得出标准不确定度u_B（x）=a/k，因为k与分布状态有关（见表6-3）。

表6-3 各种分布时的k值及B类标准不确定度u_B（x_i)

续表

上表中β为梯形的上底与下底之比，对于梯形分布而言，，特别当β等于1时，梯形分布变为矩形分布；当β等于0时，梯形分布变为三角分布。

3. k的确定方法

（1）已知扩展不确定度是合成标准不确定度的若干倍时，该倍数就是包含因子k值。

（2）假设被测量值服从正态分布时，根据要求的概率查表6-4得到k值。

表6-4 正态分布情况下概率p与k值间的关系

（3）假设为非正态分布时，根据要求的概率查表6-5得到k值。

表6-5 常用非正态分布时的k值及B类标准不确定度u_B（x)

注：表3中β为梯形的上底与下底之比，对于梯形分布来说，。当β等于1时，梯形分布变为矩形分布；当β等于0时，变为三角分布。

4. B类评定概率分布的假设

（1）被测量受许多随机影响量的影响，当它们各自的影响都很小时，不论各影响量的概率分布是什么形式，被测量的随机变化服从正态分布。如证书或报告给出的不确定度是具有包含概率为0.90、0.95、0.99的扩展不确定度（即给出U₉₀、U₉₅、U₉₉），此时，除非另有说明，可按正态分布来评定B类标准不确定度。

（2）当利用有关信息或经验，估计出被测量可能值区间的上限和下限，其值在区间外的可能几乎为零时，若被测量值落在该区间内的任意值处的可能性相同，则可假设为均匀分布（或称矩形分布、等概率分布）。如数据修约、测量仪器最大允许误差或分辨力、参考数据的误差限、度盘或齿轮的回差、平衡指示器调零不准、测量仪器的滞后或摩擦效应导致的不确定度及对被测量的可能值落在区间内的情况缺乏了解等，一般假设为均匀分布。

（3）当利用有关信息或经验，若被测量值落在该区间中心的可能性最大，则假设为三角分布。如两相同均匀分布的合成、两个独立量之和值或差值服从三角分布。(www.xing528.com)

（4）当利用有关信息或经验，若落在该区间中心的可能性最小，而落在该区间上限和下限的可能性最大，则可假设为反正弦分布（即U形分布）。如度盘偏心引起的测角不确定度、正弦振动引起的位移不确定度、无线电测量中失配引起的不确定度、随时间正弦或余弦变化的温度不确定度等。

（5）按级使用量块时，中心长度偏差的概率分布可假设为两点分布。

（6）安装或调整测量仪器的水平或垂直状态导致的不确定度常假设为投影分布。

（7）实际工作中，可依据同行共识确定概率分布。

5. 分辨力导致的B类不确定度分量

若数字显示器的分辨力为δ数，由分辨力导致的标准不确定度分量u （x）采用B类评定，则区间半宽度为a=δ_x/2，假设可能值在区间内为均匀分布，查表6-4得，因此由分辨力导致的标准不确定度分量u（x）如式6-13所示。

6. B类标准不确定度分量的自由度

根据经验，按所依据的信息来源的可信程度来判断u（x_i）的相对标准不确定度△ [u（x_i）]/u（x_i）。按式（6-14）计算出的自由度列于表6-6中。

表6-6 Δ[u（x_i)]/u（x_i)与v_i的关系

7. B类评定流程

B类评定流程如图6-4所示。

图6-4 B类评定流程图

（三）合成标准不确定度评定

1. 合成标准不确定度表示

被测量Y的估计值y=f（x₁，x₂，…，x_N）的标准不确定度是由相应输入量x₁，x₂，…，x_N的标准不确定度合理合成求得的，其表示式的符号为u_c（y）。合成标准不确定度u _c（y）表征合理赋予被测量之值Y的分散性，是一个估计标准偏差。

求各个输入分量标准不确定度对输出量y的标准不确定度的贡献。

在求出各个输入量的不确定度分量u（x_i）之后，还需要计算传播系数（灵敏系数）c_i，最后通过式（6-15）计算由此引起的被测输出量y的标准不确定度分量。

式中传播系数或灵敏系数的含义是，输出量的估计值x_i的变化引起的输出量的估计值y的变化量，即起到了不确定度的传播作用。

合成标准不确定度的u_c（y）的计算式（6-16）：

在实际工作中，若各输入量之间均不相关，或有部分输入量相关，但其相关系数较小（弱相关）而近似为r（x_i，x_j）=0，于是便可以简化为：

当，则可进一步简化为：

式（6-18）为计算合成不确定度一般采用的方和根法，即将各个标准不确定分量平方后求其和再开根。

2. 常用的表达形式

当简单直接测量，测量模型为y=x时，应该分析和评定测量时导致测量不确定度的各分量u_i，若相互间不相关，则合成标准不确定度按式（6-19）计算：

当测量模型为Y=A₁X₁ +A₂X₂ +…+A_N X_N且各输入量间互不相关时，合成标准不确定度可以用式（6-20）计算：

当测量模型为且各输入量间互不相关时，合成标准不确定度可使用式（6-21）计算：

当测量模型为Y=AX₁AX₂…X_N且各输入量间互不相关时，式（6-21）变换为式（6-22）：

注：只有在测量函数是各输入量的乘积时，可由输入量的相对合成标准不确定度u_crel（x_i）=u（x_i）/x_i计算输出量的相对标准不确定度。

各输入量间正强相关，相关系数为1时，合成标准不确定度应按式（6-23）计算：

若灵敏系数为1，则式（6-23）变换为（6-24）：

3. 关于相关性的说明

对大部分检测工作（除涉及航天、航空、兴奋剂检测等特殊领域中要求较高的场合外），只要无明显证据证明某个分量有强相关时，均可按不相关处理，如果发现分量存在强相关，如采用相同仪器测量的量之间，则尽可能改用不同仪器分量测量这些量使其不相关。

要证实某些分量之间存在强相关，则首先判断相关性是正相关还是负相关，并分别取相关系数为+1或-1，然后将这些相关分量算术相加后得到一个 “净”分量，再将它与其他独立无关分量用方和根求得u _c（y）。

如果发现各分量中有一个占支配地位时（该分量大于其次那个分量三倍以上），合成不确定度就决定于该分量。

4. 有效自由度

有效自由度是指合成标准不确定度u_c（y）的自由度，用符号v_eff表示，v_eff反映了u_c（y）的可靠程度，v_eff越大，u_c（y）越可靠。以下情况需要计算有效自由度v_{e ff}：

（1）当评定某包含概率下的扩展不确定度U_p时，为求得包含因子k _p需要计算的有效自由度v_{e ff}；

（2）当客户需要了解不确定度的可靠程度而提出要求时。

当各分量间相互独立且输出量接近正态分布或t分布（测量模型为线性函数）时，合成标准不确定度的有效自由度通常可按式（6-25）计算：

且

当测量模型为时，有效自由度可用相对标准不确定度的形式计算，见式（6-26）：

实际计算中，得到的有效自由度v_eff不一定是一个整数，可采用将v_eff数字舍位到最接近的一个较低的整数。如计算得到v_eff=12.65，则取v_eff=12。

5. 合成标准不确定度计算流程

合成标准不确定度计算流程如图6-5所示。

图6-5 合成标准不确定度计算流程

（四）扩展不确定度评定

1. 扩展不确定度

扩展不确定度，是被测量可能值包含区间的半宽度。扩展不确定度分为U和U_P两种。一般情况下，在给出测量结果时报告扩展不确定度U。

（1）扩展不确定度U由合成标准不确定度u_c乘包含因子k得到：U=ku_c

当y和u _c（y）所表征的概率分布近似为正态分布（不确定度分量较多且其大小也比较接近，可估计为正态分布）时，且u _c（y）的有效自由度较大情况下，若k=2，则由U=2u_c所确定的区间具有的包含概率约为95%。若k=3，则由U=3u_c所确定的区间具有的包含概率约为99%。

在通常的测量中，一般取k=2。当取其他值时，应说明其来源。当给出扩展不确定度U时，一般应注明所取的k值；若未注明k值，k=2。

（2）当要求扩展不确定度所确定的区间具有接近于规定的包含概率p时，扩展不确定度用符号U_P表示，当p为0.95，0.99时，分别表示为U₉₅和U₉₉。U_P=k_pu_c。

k_p是包含概率为p时的包含因子，k_p=t_p（v_eff）

根据合成标准不确定度u_c（y）的有效自由度v_eff和需要的包含概率，查《t分布在不同概率p与自由度v时的t_p（v）值（t值）表》得到t_p（v_eff）值，该值即包含概率为p时的包含因子k_p值。

如果合成不确定度中A类分量占比重较大，且作A类评估时重复测量次数n较少，则包含因子k必须查t分布表获得。

扩展不确定度U_P=k_pu_c（y）提供了一个具有包含概率为p的区间y±U_P。在给出U_P时，应同时给出有效自由度v_{e ff}。

（3）如果可以确定Y可能值的分布不是正态分布，而是接近于其他某种分布，则不应按k_p=t_p（v_eff）计算U_P。

例如Y可能近似为矩形分布，取p=0.95时k_p=1.65；取p=0.99时k_p=1.71；取p=1时k_p=1.73。

正态分布概率分布图如图6-6所示。

2. 扩展不确定度的有效位数

估计值y的数值和它的合成标准不确定度u _c（y）或扩展不确定度U的数值均不应给出过多的有效位数。

通常最终报告的u _c（y）和U最多为两位有效数字。对各标准不确定度分量u（x_i），为了在连续计算中避免修约误差导致不确定度，可以适当保留多余的位数。

图6-6 正态分布概率分布图

在报告最终结果时，一般采用GB/T 8170—2008 《数值修约规则与极限数值的表示和判定》修约到需要的有效数字。如U=28.05 kHz经修约写成28kHz。有时也可将不确定度最末位后面的数进位而不舍去。如U=10.47kHz，可以进位到11kHz。

（五）测量结果及其不确定度报告

完整的测量结果包含两个基本量，一是被测量Y的最佳估计值y，通常由数据测量列的算术平均值给出；另一个就是描述该测量结果分散性的量，即测量不确定度。

一般以合成标准不确定度u _c（y）或扩展不确定度U（y）或它们的如下相对形式给出。

u _crel（y）=u_c（y）/| y| （| y|≠0）、U_crel（y）=U_c（y）/| y| （| y|≠0）

1 . 采用形式U=ku _c（y）报告测量结果

取包含因子k=2，扩展不确定度为U=ku_c（m_s）=2×0.35mg=0.70mg

测量结果不确定度报告有以下两种形式：

①m_s=100.02147g，U=0.70mg；k=2

②m_s=（100.02147±0.00070）g；k=2

2. 采用形式U_P=k_pu_c（y）报告测量结果

①m_s=100.02147g，U₉₅=0.79mg；v_eff=9

②m_s=（100.02147±0.00079）g；v_eff=9，括号内第二项为U₉₅之值

③m_s=100.02147（79）g；v_eff=9，括号内为U₉₅之值，其末位与前面结果末位数对齐

④m_s=100.02147（0.00079）g；v_eff=9，括号内为U₉₅之值，与前面结果有相同的计量单位

三、测量不确定度的评定步骤

测量不确定度的评定步骤如图6-7所示。

图6-7测量不确定度的评定步骤