组合逻辑电路的分析与设计知识链接

1.逻辑代数

(1)逻辑函数

逻辑代数，也称为布尔代数，是分析和设计数字电路的基本数学工具。基于此，数字电路有时也称为数字逻辑电路或逻辑电路。数字电路研究的是电路的输入与输出之间的因果关系，也称为逻辑关系。逻辑关系一般用逻辑函数描述。

在逻辑代数中，常用字母A、B、C等表示变量，称为逻辑变量。逻辑变量的取值只有0和1两种。0和1分别代表的是两种不同的逻辑状态，而不是数值的大小。例如，用1和0分别表示电压的高和低，开关的接通和断开，灯的亮与灭等。

输入、输出变量为逻辑变量的函数称为逻辑函数。如果变量A、B、C……的值确定，变量Y的值也被唯一确定，那么Y就是A、B、C……的逻辑函数。通常A、B、C……称为输入逻辑变量，Y称为输出逻辑变量。

(2)逻辑函数的表示方法

逻辑函数有多种表示方法，常用的有真值表、逻辑表达式(逻辑函数式)、逻辑图、卡诺图和波形图等。它们各有其特点，既相互联系，又可以相互转换。

1)真值表

图1-15所示为一个楼道灯开关控制电路。该电路在楼上楼下均可控制灯的亮与灭。设Y表示灯，用1表示点亮，0表示熄灭;A、B分别为楼上、楼下开关，开关向上为1，向下为0。列出Y与A、B逻辑关系的真值表如表1-16所示。

图1-15 楼道灯开关控制电路

表1-16 楼道灯开关控制电路逻辑真值表

显然，只有当开关A和开关B同时向上或同时向下时，楼道灯Y才会点亮;否则楼道灯Y熄灭。

在列真值表时，为避免遗漏，变量取值的组合一般按n位自然二进制数递增顺序全部列出。用真值表表示逻辑函数的优点是直观明了，可直接看出逻辑函数值与变量取值之间的关系。

2)逻辑表达式

逻辑表达式是用与、或、非等运算表示函数中各个变量之间逻辑关系的代数公式。在上述实例中，对照表1-16所示的真值表可知，在A、B状态的4种不同组合中，只有第一种(A=B=0)和第四种(A=B=1)组合才有可能使楼道灯Y点亮(Y=1)。其中，变量每种组合是逻辑与的关系，而各种可能的组合之间是逻辑或的关系。对于使逻辑输出变量Y=1的输入变量A、B的每种可能的组合中，凡取1值的用原变量表示，取0值的用反变量表示，则可写出图1-15所示电路的逻辑表达式为

这种表达式称为标准与或式。

3)逻辑图

逻辑图是将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用逻辑运算的图形符号表示出来。将公式中所有的与、或、非逻辑运算符号，用相应的逻辑图形符号代替，并按照逻辑运算的先后次序将这些逻辑图形符号连接起来，就得到了图1-15所示电路的逻辑图，如图1-16(a)所示。该函数输入变量与输出变量之间是同或关系，故也可以用同或逻辑符号来表示，如图1-16(b)所示。

图1-16 楼道灯开关控制电路的逻辑电路图

4)卡诺图

卡诺图是用图形描述逻辑函数的方法。这种方法十分有利于逻辑函数的化简，将在本书的后面结合逻辑函数化简问题进行详细介绍。

5)波形图

在给出输入变量随时间变化的波形后，根据输出变量与其对应关系，即可找出输出变量随时间变化的规律。这种反映输入和输出波形变化规律的图形，称为波形图，又称为时序图。图1-17所示为给定A、B波形后按图1-16的逻辑关系所画出来的Y波形图。显然，用A、B和Y三者的波形关系可以表达此处的逻辑关系。

图1-17 波形图

(3)逻辑表示方法之间的相互转换

由于逻辑函数的各种表示方法是表达同一事件的，因此这些表示方法可以相互转换。下面介绍它们之间的相互转换。

1)根据真值表写出逻辑表达式

从真值表写出逻辑表达式的一般步骤如下。

①找出真值表中使逻辑函数Y=1的所有输入变量取值的组合。

②每组输入变量取值的组合对应一个与项，组合中各变量取值为1的写为原变量，取值为0的写为反变量。

③将这些与项进行或运算，即可得到Y的逻辑表达式。

【例1-1】已知某逻辑函数的真值表如表1-17所示，试写出其逻辑表达式。

表1-17 【例1-1】函数真值表

解：①写出使函数值Y=1时的变量取值组合的所有乘积项。变量取值为1时写成原变量，变量取值为0时写成反变量。共有4组，分别为ABC。

②把这些乘积项进行或运算，得到逻辑函数的表达式为

2)根据逻辑表达式列出真值表

列写方法是：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不同取值，将它们的顺序(一般按二进制数递增规律)排列，并在相应位置写出对应取值下的函数值，便可得到逻辑函数的真值表。

【例1-2】列出逻辑函数的真值表。

解：函数Y有2个输入变量，共有22=4种输入取值组合，将它们代入逻辑表达式进行计算，并将计算结果列表，即可得到真值表，如表1-18所示。初学时，为避免差错，可将项算出，然后与变量A进行或运算求出Y的值。

表1-18 【例1-2】的真值表

3)根据逻辑表达式画出逻辑图

方法：用逻辑图形符号代替逻辑表达式中的逻辑运算符号，就可以得到相应的逻辑图。

【例1-3】已知逻辑函数试画出其逻辑图。

解：将式中所有的与、或、非运算符号用图形符号代替，并按运算优先顺序将它们连接起来，就可以得到其逻辑图，如图1-18所示。

图1-18 【例1-3】的逻辑图

4)根据逻辑图写出逻辑表达式

方法：从逻辑图的输入端到输出端按信号传输的路径，逐级写出每个逻辑图形符号输出端的逻辑函数式，便可以在输出端得到所求的逻辑函数表达式，也可以从输出端到输入端按信号反向传输的路径，逐级写出每级输出端的逻辑表达式。

【例1-4】已知逻辑图如图1-19所示，试写出其逻辑表达式。

图1-19 【例1-4】的逻辑图

解：从输入端开始，逐个写出每个图形符号输出端的逻辑表达式，得到

5)根据逻辑表达式画波形图

方法：输入波形中高电平者，取值为1;输入波形中低电平者，取值为0。将输入波形对应的取值代入逻辑表达式中，求出输出量的值。然后，根据输入、输出量的值，画出输入、输出波形。

【例1-5】输入波形A、B如图1-17所示，试画出图1-16(a)所示逻辑电路的输出波形。

解：①根据逻辑图写出逻辑表达式

②根据输入波形A、B的上升沿和下降沿，将波形画分成若干个时间段。

③将输入波形对应的高、低电平转换成数值，如图1-17中的A、B波形。

④将A、B波形所示的数值代入逻辑表达式中，计算出输出量Y的值，如图1-17中所示的Y的数值。

⑤根据输出量Y的值，画出Y的波形，如图1-17所示。

(4)逻辑代数的公式和定理

1)逻辑代数的基本公式

逻辑代数的基本公式是一些不需要证明的、直观的、可以看出的恒等式。利用这些基本公式可以化简逻辑函数，还可以用来推导一些逻辑代数的基本定律。

①逻辑常量运算公式。二值逻辑中只有0和1两个常量，逻辑变量的取值不是0就是1，而最基本的逻辑运算关系只有与、或、非这3种，所以常量之间的运算关系如表1-19所示。

表1-19 逻辑常量运算关系

②逻辑变量和常量运算公式。设A为逻辑变量，则常量和变量之间的运算关系如表1-20所示。

表1-20 常量和变量之间的运算关系

2)逻辑代数定律

逻辑代数包括与、或、非这3种基本运算，运算优先级别依次为非、与、或。如果运算式中有括号，先计算小括号中的组项，再计算中括号中的组项，最后计算大括号中的组项，括号的运算次序、规则与普通代数中的运算规则相同。根据与、或、非运算的定义和运算规则，可以推导出一系列逻辑运算定律。这些基本定律是分析、设计逻辑电路，化简和变换逻辑函数式的重要工具。

①与普通代数相似的定律。与普通代数相似的定律有交换律、结合律、分配律，如表1-21所示。

表1-21 与普通代数相似的定律

②逻辑代数的特殊定律。逻辑代数的特殊定律有吸收律、反演律(也称为摩根定理)等，如表1-22所示。

表1-22 逻辑代数的特殊定律

上述定律的证明很容易，读者可自行证明，这里不再赘述。

3)逻辑代数的常用规则

①代入规则。任何一个含有逻辑变量A的等式，如果将所有出现A的地方都代之以一个逻辑函数F，则所得到的新等式仍然成立，这个规则称为代入规则。

应用代入规则可以扩大基本定律的应用范围。例如，若用Z=ABC代替等式中的A，则等式仍然成立。读者可自行证明。

②反演规则。对任何一个逻辑函数式Y，如果将式中所有的“.”换成“+”，“+”换成“.”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数Y的反函数这种变换规则称为反演规则。

利用反演规则可以容易地求出一个逻辑函数的反函数。例如，函数Y=(A+B CD)E的反函数可直接写为：+E。

在应用反演规则时必须注意，不能将原函数式中的运算优先次序弄错。为了防止在变换过程中运算次序弄错，在变换之前应先将乘积项加上括号。

③对偶规则。对任何一个逻辑函数式Y，如果把式中所有的“.”换成“+”，“+”换成“.”，0换成1，1换成0，而变量保持不变，这样就得到一个新的逻辑函数，这个新函数称为原函数的对偶函数，记为Y′。这种变换规则称为对偶规则。例如，逻辑函数式利用对偶规则，可得到其对偶函数为Y′=A+BC。对偶变换同样也要注意运算符号的优先顺序。

对偶规则的意义在于：若两个函数式相等，则它们的对偶式也一定相等。因此，对偶规则也适用于逻辑等式，如将逻辑等式两边同时进行对偶变换，得到的对偶式仍然相等。

对偶规则常用于证明逻辑等式。若能证明一个逻辑等式的对偶式成立，则原等式也一定成立。不难证明摩根定律的两种形式是互为对偶式的。

2.逻辑函数的化简

进行逻辑设计时，根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，并且可以有不同的形式。因此，实现这些逻辑函数就会有不同的逻辑电路。通常，表达式简单，对应的逻辑电路也会比较简单。这对于节省元器件，优化生产工艺，降低成本和提高系统的可靠性，增强产品的市场竞争力非常重要。

不同形式的逻辑函数式有不同的最简形式，大多都可以根据最简与或式变换得到。最简与或式是指含有的乘积项(与项)最少，且每个乘积项中含有的变量(因子)数最少的表达式。

(1)公式法化简

公式法化简就是用逻辑代数中的基本公式、基本定理和规则对逻辑函数进行化简的方法。常用的方法有以下几种。

1)并项法

利用公式将两项合并成一项，从而消去一个变量。例如：

2)吸收法

利用公式A+AB=A或A·(A+B)=A，消去多余因子。例如：

3)消因子法

利用公式消去多余的因子。例如：

4)配项法

在不能直接利用公式、定律化简时，利用等，重新配项再化简。例如：

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在实际化简逻辑函数时，往往需要灵活、交替地运用上述方法，才能得到最简与或表达式。

【例1-6】化简逻辑函数式

解：

(2)卡诺图化简

卡诺图化简是在最小项的基础上，将逻辑函数用一种称为“卡诺图”的图形来表示，并在卡诺图上进行逻辑函数化简的方法。在介绍卡诺图化简方法之前，先说明一下最小项的概念。

1)最小项

最小项是指逻辑函数中的一个乘积项(与项)，它包含了该逻辑函数中所有的变量，每个变量均以原变量或反变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。

n个变量的全部最小项共有2n个。例如，三变量A、B、C共有23=8个最小项，分别为为了书写方便，最小项简记为mi，其中m表示最小项，下标i为最小项编号。编号的方法是：最小项中的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。例如，最小项对应取二进制数011，即十进制数3，简记为m3。又如，此三变量A、B、C的全部最小项依次简记为m0、m1、m2、…、m7。

2)逻辑函数的最小项表达式

由最小项组成的或表达式称为逻辑函数最小项表达式，也称为标准与或表达式。任何逻辑函数都可以变换为最小项表达式。

【例1-7】写出函数的最小项表达式(标准与或式)。

解：

简记为

3)逻辑函数的卡诺图表示法

①逻辑变量的卡诺图。按照使具有相邻性的最小项在几何位置上也相邻的原则排列起来的方格图称为卡诺图。

最小项的相邻性是指两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同。例如，三变量最小项ABC和和互为反变量，其余变量(A、B)相同，所以它们是相邻最小项。

几何位置上相邻是指在方格阵列中任一方格内的最小项，与其几何位置上下左右方格内的最小项相邻，包括水平方向最左端和最右端的方格也相邻;垂直方向最上端和最下端的方格也相邻。

用2n个小方格表示n个变量的2n个最小项，并使相邻最小项在几何位置上也相邻，按这样的相邻要求排列起来的方格图称为n个变量最小项卡诺图。

根据卡诺图的构成原则，画出二变量A、B，三变量A、B、C和四变量A、B、C、D的卡诺图，如图1-20所示。

图1-20 填入最小项的卡诺图

②逻辑函数的卡诺图。当逻辑函数为最小项表达式时，在对应变量的卡诺图中找出和表达式中最小项相对应的小方格，并在其内填1，其余小方格内填0(也可不填，用空格表示)，即可得到该逻辑函数的卡诺图。

【例1-8】试画出【例1-7】中逻辑函数的卡诺图。

解：这是一个三变量逻辑函数，把逻辑式中的4个最小项m3、m4、m5、m7对应的方格中填1，其余不填。得到Y的卡诺图如图1-21所示。

图1-21 【例1-7】的卡诺图

③利用卡诺图化简逻辑函数。利用卡诺图化简逻辑函数依据的基本原理是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。例如，相邻最小项ABC和可以合并为一项，同时消去互反变量：合并结果为这两个最小项的共有变量。

利用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下。

首先，画出逻辑函数的卡诺图。

其次，对卡诺图中相邻的1方格画包围圈。画包围圈时应遵循的规则为：包围圈尽量大，这样消去的变量就多，与门输入端的数目就少，但每个圈中标1的方格数必须为2k个(k=0，1，2，…)。

为了充分化简，1方格可以被重复圈在不同的包围圈中，但在新画的包围圈中必须有未被圈过的1方格;否则它就是多余的。

为避免画出多余的包围圈，画包围圈时应遵循由少到多的顺序，即先圈独立的1方格，再圈仅为2个相邻的1方格，然后分别圈4个、8个相邻的1方格。

不能漏掉任何一个1方格。

最后，将每个包围圈中互反变量消去，保留相同变量，所得到的与项再逻辑或，便得到化简后的最简与或表达式。

【例1-9】用卡诺图化简逻辑函数Y(A，B，C，D)=∑m(0，2，4，5，6，7，9，15)。

解：画四变量最小项卡诺图，如图1-22所示。

填卡诺图。将逻辑函数式中的最小项在卡诺图的相应方格内填1。

合并相邻最小项。将相邻1方格按2k数目圈起来。具体为：先圈独立的1方格(包围圈a)，再圈仅2个相邻的1方格(包围圈b)，最后圈仅4个相邻的1方格(包围圈c和d)。

合并每个包围圈内的最小项如下。

把全部包围圈最小项的合并结果进行逻辑或，得到逻辑函数的最简与或表达式为

【例1-10】用卡诺图化简逻辑函数

解：写出逻辑函数的最小项表达式

Y=

画出四变量逻辑函数卡诺图，如图1-23所示。并将各个最小项在卡诺图的相应方格内填1。

合并相邻最小项，注意按由少到多画包围圈时尽量大、尽量少。写出逻辑函数的最简与或表达式

图1-22 【例1-9】的卡诺图

图1-23 【例1-10】的卡诺图

(3)具有约束项的逻辑函数化简

1)约束项

在实际应用中，常会遇到逻辑函数出现的一些情况，如输入变量的某些取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的(可以为0，也可以为1)。这样的取值组合所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项。

【例1-11】十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，规定红灯亮车辆停，绿灯亮车辆行，黄灯亮车辆等一等，试分析车行与三色信号灯之间的逻辑关系。

解：设红、黄、绿灯分别用变量A、B、C表示，灯亮为1，灯灭为0;车辆用Y表示，车行为1，车停为0。

由题意可知，红、黄、绿三盏灯均不亮、同时亮、任两盏同时亮的情况都不应该出现，称为无关项，在真值表中用“×”表示。列出该逻辑函数的真值表如表1-23所示。显而易见，该函数有5个最小项为无关项。

表1-23 十字路口交通信号灯真值表

续表

带有无关项的逻辑函数的最小项表达式可写为：Y=∑m+∑d。如本例函数可写成Y=∑m(1）+∑d(0，3，5，6，7）。

2)具有约束项的逻辑函数的化简

在化简具有约束项的逻辑函数时，由于约束项是0或1对逻辑函数都不会产生影响(因为实际上不存在这些变量取值)，因此约束项的取值可视具体情况取0或取1。具体来讲，如果约束项对化简有利，就取1;如果约束项对化简不利，就取0。

对【例1-11】逻辑函数化简如图1-24所示。

图1-24 利用约束项化简逻辑函数

不考虑无关项时，化简表达式为：

考虑无关项时，化简表达式为：Y=C。

可见，考虑无关项时，化简结果更简单。但哪些无关项当作1，哪些无关项当作0，要以使逻辑函数更简为原则。

【例1-12】试用卡诺图化简函数Y=∑m(5，6，7，8，9)+∑d(10，11，12，13，14，15）。

解：设给定函数的4个变量分别为A、B、C、D，画出卡诺图如图1-25所示。化简后，得到函数的最简与或表达式为

图1-25 【例1-12】的卡诺图

Y=A+BC+BD

3.组合逻辑电路的分析

组合逻辑电路的分析主要是根据给定的组合逻辑电路图，找出输出信号与输入信号之间的关系，从而确定电路的逻辑功能。具体分析步骤如下。

(1)根据给定的逻辑电路写出输出逻辑表达式。一般从输入端向输出端逐级写出各个门输出对其输入的逻辑表达式，从而写出整个逻辑电路的输出对输入变量的逻辑表达式。必要时，可进行化简，求出最简输出逻辑表达式。

(2)列出逻辑函数的真值表。将输入变量的状态以自然二进制数递增顺序的各种取值组合代入输出逻辑表达式，求出相应的输出状态，并填入表中，即得真值表。

(3)分析逻辑功能。通常通过分析真值表的特点来说明电路的逻辑功能。

【例1-13】组合逻辑电路如图1-26所示，试分析该电路的逻辑功能。

图1-26 【例1-13】的逻辑电路

解：①写出输出逻辑函数表达式为

②列出逻辑函数的真值表，如表1-24所示。

③逻辑功能分析。由表1-24可以看出，在输入A、B、C这3个变量中，有奇数个1时，输出Y为1;否则Y为0。因此，图1-26所示电路为三位判奇电路，又称为奇校验电路。

表1-24 【例1-13】的真值表

4.组合逻辑电路的设计

在数字系统中，根据逻辑功能特点的不同，数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路。任何时刻输出状态只取决于该时刻的输入状态，而与电路原来状态无关的逻辑电路称为组合逻辑电路。组合逻辑电路在电路结构上全部由门电路组成。

组合逻辑电路的设计方法如下。

(1)分析设计要求，列出真值表。分析实际逻辑问题确定输入变量、输出变量及它们之间的关系，根据逻辑功能要求和逻辑关系列出真值表。

(2)根据真值表写出逻辑函数表达式。将真值表中输出为1所对应的各个最小项进行逻辑或后，便得到逻辑函数表达式。

(3)用公式化简法或卡诺图法化简逻辑函数，得到最简逻辑表达式;或者用摩根定律将逻辑函数表达式变形成现有器件才能实现的表达式。

(4)根据逻辑表达式选择合适的器件。应根据具体要求和器件的资源情况决定选用哪种器件。

(5)根据最简逻辑表达式(或变形后的表达式)画出逻辑电路图。用门电路逻辑符号画出逻辑电路图。

【例1-14】试用基本门电路设计一个监视交通灯工作状态的逻辑电路。每组信号灯由红、黄、绿三盏灯组成，正常情况下，每个时刻必须有一盏信号灯点亮，且只允许一盏信号灯点亮。当出现其他5种点亮状态时，电路发生故障，且要求发出故障告警信号。以提醒维护人员前去维修。

解：①先进行逻辑抽象。取红、黄、绿三盏灯的状态为输入变量，分别用A(红灯)、B(黄灯)、C(绿灯)表示。当灯点亮时，取其逻辑状态为1;当灯灭时，取其逻辑状态为0。故障信号灯为输出变量，用Y表示，灯亮为1状态，灯灭为0状态。根据题意列出真值表如表1-25所示。

表1-25 【例1-14】的真值表

②写出逻辑表达式并化简。

③选择器件。由于电路没有对所选器件有特殊要求，因此电路按化简的最简形式实现，无须进行逻辑函数的变化。选择小规模集成门电路实现。

④根据逻辑表达式画出逻辑电路图。所画逻辑电路图如图1-27所示。

图1-27 【例1-14】逻辑电路图