测角交会的前、侧、后方交会方法

测角交会又可分为前方交会、侧方交会和后方交会三种（图3-8-1）。

图3-8-1　测角交会

（a）前方交会；（b）侧方交会；（c）后方交会

如图3-8-1（a）所示，分别在两个已知点A和点B上测出图示的水平角α和β，从而根据几何关系求算出P点的平面坐标的方法，这种方法称为前方交会。侧方交会与前方交会所不同的是所测的两个角中有一个是在未知点上测出的。如图3-8-1（b）所示，分别在一个已知点（如A点）和待定坐标的控制点P上测出图示的水平角α和γ，从而求算出P点的平面坐标的方法称为侧方交会。如图3-8-1（c）所示，仅在待定坐标的控制点P上分别照准三个已知点（图中的A、B、C三点）测出图示的水平角α、β和γ，并根据已知点坐标求算出P点的平面坐标的方法，称为后方交会。

1.前方交会

如图3-8-1（a）所示，设已知A点的坐标为xA、yA，B点的坐标为xB、yB，分别在A、B两点处设站，测出水平角α和β，则未知点P的坐标可按以下的方法进行计算。

（1）按导线推算P点的坐标。

1）用坐标反算公式计算AB边的坐标方位角αAB和边长DAB：

计算AP、BP边的方位角αAP、αBP及边长DAP、DBP：

式中，γ＝180°－α－β，且应有αAP－αBP＝γ（可用作检核）。

2）按坐标正算公式计算P点的坐标：

由式（3-8-3）和式（3-8-4）计算的P点坐标理应相等，可用作校核。由于计算中存在小数位的取舍，可能有微小差异，可取其平均值。

（2）按余切公式（变形的戎洛公式）计算P点的坐标略去推导过程，P点的坐标计算公式为

化成正切公式为(www.xing528.com)

在利用式（3-8-5）和式（3-8-6）计算时，三角形的点号A、B、P应按逆时针顺序排列，其中A、B为已知点，P为未知点。

为了校核和提高P点精度，前方交会通常是在三个已知点上进行观测，如图3-8-2所示，测定α1、β1和α2、β2，然后由两个交会三角形各自按式（3-8-5）或式（3-8-6）计算P点坐标，得到P1（x1，y2）、P2（x2，y2）。因测角误差的影响，求得的两组P点坐标不会完全相同，其点位较差为

图3-8-2　三点前方交会

其中δx、δy分别为两组xP、yP坐标值之差。当ΔD≤0.2M（mm）（M为测图比例尺分母）时，可取两组坐标的平均值作为最后结果。表3-8-1所示为前方交会计算表。

表3-8-1　前方交会计算表

2.侧方交会

如图3-8-1（b）所示，侧方交会的计算与前方交会相同，所不同的是β（或α）值并不是直接观测的，而是计算求出的，即β＝180°－α－γ（或α＝180°－β－γ）。

3.后方交会

后方交会的计算方法较多，这里介绍通常采用的一种仿权计算法，又称后方交会的“重心公式”。

如图3-8-1（c）所示，设由已知点A、B、C所构成的三角形的三个内角为∠A、∠B、∠C，在待定点P对已知点进行观测，也构成三个水平角α、β、γ，待定点P上的三个角α、β、γ必须与已知点A、B、C按图所示的关系相对应，此时，待定点P的纵、横坐标值分别为三个已知点的纵、横坐标值的加权平均值，即

已知点坐标值的权按下式计算：

待定点P可以在已知点所组成的三角形内，也可以在三角形外。但是，当A、B、C、P处于四点共圆的位置时，就不能用后方交会测定待定点的位置，因此，该四点共圆称为后方交会的“危险圆”。