网络可靠性提升的牵制控制模型建立方法

（一）网络节点的线性耦合常微分方程

线性耦合常微分方程是用来描述连续动力系统的重要工具。一般可以描述成下列形式：

其中：N＞1：网络中节数；f：是一个连续的函数；xi：第i个节点的状态变量；c＞1是网络的耦合强度；C=（Cij）N×N：耦合矩阵，反应网络的拓扑结构，其中如果节点i 与节点j（i ≠ j）存在一个连接，那么Cij=1，否则Cij=0，C 不必是对称的，但是要求其满足式（5-5）条件，其中ki为节点i的度。

（二）受控节点的网络描述

将实现网络同步时的x值作为控制的平衡点：

为了将远洋航运网络控制到上述平衡点，需要对占网络节点总数的比例为σ（0＜σ＜1）的小部分节点实施牵扯控制。假设选择节点i1，i2，…，ir作为被牵扯控制的节点，r表示受牵扯控制的节点数量。在线性反馈作用下，节点的牵制网络可以被描述如式（5-6）。

其中：eik表示受控的节点在实现正常港口功能情况下的代价，即港口硬件设施的总投资及运营费用；d ＞ 0 是反馈控制增益系数，deik表示反馈增益。在远洋航运网络中，反馈控制增益的现实意义是：各节点港口为在“气象因素”“突发事件”“设施故障”等发生时，仍能保持港口的正常功能而做的额外准备所付出的代价。这种额外准备不仅包括在硬件条件、基础设施上的升级、改进和储备，也包括管理手段、运作流程的优化，由于港口的硬件投入及运营成本巨大，因此这种额外准备代价巨大。(www.xing528.com)

（三）受控节点数r与反馈控制增益系数的均衡

在传统的牵制控制研究中，为了使动力网络稳定到事先确定的平衡点上，通常将反馈控制增益系数d设为足够大，然而，要求d值足够大在现实情况下是不可行的。当d=1时，则为预防突发影响储备的运力与港口现有运力相等，即意味着额外运力储备的成本与整个港口建设的总投资相同，在现实中是不行的；只有将d值控制在一个足够小的水平上，对远洋航运网络的牵制控制才有现实意义。

若对于某个ε0＞0，存在一个自然数r∈［1，N-1］，和一个反馈增益系数d满足式（5-7），则式（5-6）可以稳定到均衡点上。

其中：λi是矩阵的Mi最大特征值，Mi是同时去除矩阵的第1，2，…，N-1行和列得到的矩阵，并且是矩阵C的主对角元素ci被取代后得到的矩阵。,D,是一个正定的对角矩阵。

假设是矩阵的最大特征值，如果令，则反馈增益d值不得不达到足够大，这是不切合实际的。因此，引入一个松弛因子ε0，使得对于一个适当的d，成立。牵制节点越多，满足上述不等式所需的反馈增益d 就越小。对于一个确定的牵制节点数目r，反馈增益系数d 存在着一个临界值，当d 大于这个临界值时，远洋航运网络中受控节点的牵制网络就能达到稳定的平衡点。同样，对于一个给定的反馈增益d，牵制节点的数目也存在着一个临界值，达不到这个值，受控节点的牵制网络是不能到达指数稳定的状态。因此，可以得到一系列可行的组合（r，d），它定义了一个稳定的区域，用它可以划分牵制节点数目r 和反馈增益 d 的稳定的参数空间。

建立代价函数Q（r，d）=rα d1-α，可以得到是函数值取得最小值的（r，d）的可行组合，从而兼顾二者的取值。