消费者如何确定最佳购买量？

（一）无差异曲线

1.无差异曲线的概念

为了简化分析，我们假定消费者只消费两种物品，这样我们就可以用一个两维的平面图形来说明无差异曲线。

无差异曲线（Indifference Curve）是一条用来表示消费者偏好相同的两种物品的所有组合的曲线。或者说，无差异曲线是一条表示能给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种物品的所有组合的曲线。

假定现在有苹果和桃子两种物品，它们有a、b、c、d、e、f六种组合方式，并且这六种组合方式能给消费者带来相同的效用。这样我们可以做出表3-3。

表3－3 苹果和桃子的无差异组合

图3-5用图形描述了表3-3的上述组合。

图3－5 苹果和桃子的无差异曲线

在图3-5中，横轴代表了桃子的数量，纵轴代表了苹果的数量，a、b、c、d、e、f六种组合方式分别用六个点来表示，把这六点连接起来的平滑曲线I就是无差异曲线，线上任何一点上苹果与桃子不同数量的组合给消费者所带来的效用都是相同的。

主张采用无差异曲线来表示消费者对两种物品的不同数量组合所带来的效用完全相同的经济学家们认为，效用是不能计算的（这与本模块单元一中的经济学家的观点不同），因此，也不能用基数来表示。因而，无差异曲线就是指两种物品的不同组合方式中的任何一种给消费者带来的满足程度是相同的，而不管这种组合所能带来的具体效用是多少。

2.无差异曲线的特征

由于无差异曲线代表消费者偏好，因而它具有某些反映这些偏好的特征。下面，我们将介绍大多数无差异曲线的四个基本特征。

特征一：无差异曲线是一条向右下方倾斜的曲线，其斜率为负值。

无差异曲线的斜率反映了消费者愿意用一种物品替代另一种物品的比率。在大多数情况下，消费者对两种物品都喜欢。因此，在收入与价格既定的条件下，如果要减少一种物品的消费量，为了使消费者同样满足，就必须增加另一种物品的消费量。两种物品不能同时增加或减少。由于这个原因，大多数无差异曲线向右下方倾斜。

特征二：同一平面上可以有无数条无差异曲线，其中，消费者对较高的无差异曲线的偏好大于较低的无差异曲线。

同一条无差异曲线代表相同的效用，不同的无差异曲线代表不同的效用。消费者通常对数量多的物品组合的偏好大于对数量少的物品组合的偏好，这种对更大数量的偏好反映在了无差异曲线上。由于较高的无差异曲线所代表的物品量多于较低的无差异曲线，因此，消费者偏好较高的无差异曲线。

我们可以以消费者对羊肉和牛肉的不同数量组合所形成的三条无差异曲线为例，分别用表3-4和图3-6来说明这一特征。

表3－4 羊肉和牛肉无差异曲线

图3－6 羊肉和牛肉的无差异曲线

表3-4是某消费者关于羊肉和牛肉两种物品的无差异列表。表中列出了消费者关于这两种物品的各种不同组合。该表由三个子表组成，分别由I1、I2、I3三条无差异曲线表示。每条无差异曲线下的列表都包含六个物品组合，并且假定每一个子表中六个物品组合的效用水平都是相同的。以I1下的列表为例：在表中有A、B、C、D、E、F六个物品组合。在A组合中，羊肉和牛肉的数量分别为1和10；在B组合中，羊肉和牛肉的数量分别为2和6；如此等等。消费者对这六个组合的偏好程度是无差异的。同样地，消费者对I2下的列表中的所有六个物品组合的偏好程度也都是相同的，I3中六个物品组合给消费者带来的满足程度也都一样。

但需要注意的是，I1、I2、I3各自所代表的效用水平是不一样的。只要对表中的物品组合进行仔细观察和分析，就可以发现，根据偏好的非饱和性假设，可以得出结论：根据I1、I2、I3各自所代表的效用水平进行的排序是I1＜I2＜I3。

根据表3-4，我们可以绘制出图3-6。图中，横轴为牛肉的数量，纵轴为羊肉的数量，根据表3-4中所列出的物品组合数据，我们分别得到了I1、I2、I3这三条平滑的无差异曲线。从图中我们可以看到，I3高于I2，I2高于I1，又因为I1、I2、I3的效用水平排序是I1＜I2＜I3，因此我们可以得出结论：消费者对较高的无差异曲线的偏好大于较低的无差异曲线。

需要指出的是：我们在表3-4中仅列出了三个子表，相应地，在图3-6中，我们得到了三条无差异曲线。实际上，我们可以假定消费者的偏好程度无限多，因而可以有无穷个无差异子表，从而得到无数条无差异曲线。其中，越高的无差异曲线所代表的效用水平越高。

特征三：在同一平面上，任意两条无差异曲线不相交。

假定两条无差异曲线相交，如图3-7所示。

图3－7 无差异曲线相交的不可能性

由于A点和B点在同一条无差异曲线I1上，因此两点能使消费者得到同样的满足。又由于C点和B点在同一条无差异曲线I2上，因此两点能使消费者得到同样的满足。这就意味着，尽管C点对应的羊肉和牛肉的数量比A点对应的羊肉和牛肉的数量都要多，但A点和C点给消费者带来的满足程度是一样的。这就与本单元上文所提到的关于偏好的第三个假定即偏好的非饱和性相矛盾。因为消费者对更多数量的两种物品的偏好大于较少数量的两种物品的偏好，所以，在同一平面内，任意两条无差异曲线不能相交。

特征四：无差异曲线凸向原点。

这是由无差异曲线的斜率——边际替代率所决定的。

（二）边际替代率

1.边际替代率的概念与公式

我们设想，当一个消费者沿着一条既定的无差异曲线上下滑动的时候，两种物品的数量组合会不断发生变化，而效用水平却保持不变。这就说明，在维持效用水平不变的前提条件下，消费者在增加一种商品的消费数量的同时，必然会放弃一部分另一种物品的消费数量，即两种物品的消费数量之间存在着替代关系。由此，经济学家们提出了物品的边际替代率的概念。

具体地说，物品的边际替代率（Marginal Rate of Substitution）是指在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种物品的消费数量时所需要放弃的另一种物品的消费数量。

根据边际替代率的含义，我们可以写出边际替代率的公式：

其中，X、Y为消费者所消费的两种物品，ΔX代表X物品的增加量，ΔY代表Y物品的减少量，MRS代表以X物品代替Y物品的边际替代率。因为消费者要保持相同的效用水平，因此，要增加一种物品（X）的消费就必须减少另外一种物品（Y）的消费，ΔX为增加量，ΔY为减少量，两者的符号肯定是相反的，因此边际替代率应该是负值。根据边际替代率的公式，我们可以发现，无差异曲线的斜率就是边际替代率。无差异曲线向右下方倾斜就表明边际替代率为负值。为了讨论方便起见，经济学家们一般采用其绝对值。

我们可以举例示范边际替代率的具体计算。假定某消费者为了保持相同的效用水平，要增加2杯可乐，就要减少1个汉堡包，则以可乐替代汉堡包的边际替代率就是：

2.边际替代率递减规律

我们首先来计算表3-3中以苹果来替代桃子的边际替代率，从而得到表3-5。

表3－5 苹果与桃子的边际替代率

在表3-5中，Δ苹果是苹果的增加量，Δ桃子是桃子的减少量，MRS是桃子的减少量与苹果的增加量的比值，因此，MRS应该是负值。边际替代率递减是指边际替代率的绝对值递减。通过表3-5，我们发现，MRS从2.5一直下降到0.5。这种情况普遍存在于任何两种物品的替代中，被称作边际替代率递减规律。

具体地说，边际替代率递减规律（Law of Diminishing Marginal Rate of Substitution）是指在维持效用水平不变的前提下，随着一种物品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种物品所需要放弃的另一种物品的消费数量是递减的。

边际替代率递减的原因是：随着一种物品的消费数量的逐步增加，它的边际效用在递减，因而消费者想要获得更多的这种物品的愿望就会递减，从而，为了多获得一单位的这种物品而愿意放弃的另一种物品的数量就会越来越少。或者说，若第一种物品以同样的数量增加，它所能替代的另一种物品越来越少，也就是说，在式（3.8）中当分母ΔX保持不变时，分子ΔY在不断地减少，从而分数值就在不断减少。

我们可以通过图3-8对此进行说明。

图3－8 边际替代率递减规律

在图3-8中，在A点时，消费者拥有18个单位的可乐和2个单位的汉堡包，他非常饿但并不渴，为了增加1单位的汉堡包，他宁愿放弃6个单位的可乐，此时，消费组合由A点滑到B点，消费者的汉堡包增加到3个单位，可乐下降到12个单位。与此相比，在C点，消费者拥有6个单位的汉堡包和个4单位的可乐，他并不是很饿，要再增加1个单位的汉堡包，他仅愿意放弃2个单位的可乐，此时，消费组合由C点滑到D点，消费者的汉堡包为7个单位，可乐下降到2个单位。

A点到B点的MRS为：

C点到D点的MRS为：

通过上面这里例子，我们发现：一种物品越是稀缺，它的相对替代价值就越大；相对于变得充裕的物品而言，它的边际效用会上升。

（三）预算约束线

1.预算约束线的概念

预算约束线（Budget Constraint）又称为预算线、家庭预算线、等支出线、价格线、消费可能线等。预算约束线是一条表明在消费者收入与商品的价格既定的条件下，消费者所能购买到的两种商品数量最大组合的线。

预算约束线表明了消费者消费行为的限制条件。这种限制就是购买物品所花的钱既不能大于收入，也不能小于收入。大于收入是在收入既定条件下无法实现的，小于收入则无法实现效用最大化。

我们可以根据预算约束线的含义给出其约束条件方程式：(www.xing528.com)

其中，消费者的收入为M，消费者购买X、Y两种商品。PX是X商品的价格，PY是Y商品的价格，我们通过预算约束线，讨论消费者在M、PX、PY既定的情况下所能购买到的最大组合的QX和QY。

式（3.9）也可以写为：

式（3.10）是一个直线方程式，其斜率为。

令QX＝0，则。

令QY＝0，则。

这说明预算约束线在横轴（X轴）上的截距为，在纵轴（Y轴）上的截距为。

我们可以做出一个简单的预算约束线的图形，如图3-9所示。

图3－9 预算约束线

在图3-9中，横轴QX代表消费者购买X商品的数量，纵轴QY代表消费者购买Y商品的数量。A点为预算约束线与横轴的交点，其值为M／PX。B点为预算约束线与纵轴的交点，其值为M／PY。AB线就是预算约束线，线上的任意一点，例如C点，都是消费者在既定约束下（M、PX、PY既定）所能购买到的X、Y两种商品数量的最大组合；而在AB线内的任意一点，例如D点，表示消费者购买的X、Y两种商品的数量组合是可以实现的，但并不是最大数量的组合，即消费者的收入M还有剩余；在AB线外的任意一点，例如E点，表示消费者购买的X、Y两种商品的数量组合是不能实现的，因为消费者所花费的钱超过了他的既定收入M。

我们可以通过表3-6和图3-10，以消费者购买可乐和汉堡包为例，进一步说明消费者的预算约束线。假定消费者每月收入M为1 000元，且全部用于购买可乐和汉堡包，每个汉堡包的价格为PX为10元，每杯可乐的价格为PY为2元，表3-6显示了消费者可以购买可乐和汉堡包的多种组合。

表3－6 消费者预算约束下可乐与汉堡包的多种组合

表中第一行表示消费者把他的全部收入都购买汉堡包，他一个月可以吃100个汉堡包，但他不能再购买一点可乐。第二行表示他购买80个汉堡包，花费800元，购买100杯可乐，花费200元。依此类推。表中的每种消费组合花费正好是1 000元。

根据表3-6，我们可以做出图3-10。

图3－10 消费者的预算约束线

在图3-10中，横轴为汉堡包的数量，纵轴为可乐的数量。A点表示消费者不买可乐只购买100个汉堡包；B点表示消费者不买汉堡包只购买500杯可乐；C点表示消费者购买50个汉堡包和250杯可乐。A、B、C三点只表示消费者可以选择的汉堡包和可乐的多种组合中的三种。线段AB上所有各点都是可能的。实际上，消费者预算约束线表示消费者面临的两种物品的权衡取舍。

2.预算约束线的移动

从以上分析可以看出，只要给定消费者的收入M和两种商品的价格PX和PY，则相应的预算约束线的位置和形状就可以确定了。因为，预算约束线在横轴上的截距是在纵轴上的截距是预算约束线的斜率是由此可以推断，只要M、PX、PY这三个量中任何一个发生变化，原来的预算约束线都会发生变动。

给定一条预算约束线AB，具体来说，该预算约束线可以有以下四种变动情况。

第一种情况：两种商品的价格PX、PY不变，消费者收入M发生变化。此时，预算约束线AB会发生平移。理由是：PX、PY不变，则预算约束线的斜率不变，M发生变化，只能使预算约束线在横轴、纵轴上的截距发生变化。如果此时M增加，则预算约束线AB向右平移，它表示消费者的全部收入用来购买其中任何一种商品的数量都因收入的增加而增加；如果此时M减少，则预算约束线AB向左平移，它表示消费者的全部收入用来购买其中任何一种商品的数量都因收入的减少而减少。如图3-11所示，当M增加时，预算约束线由AB向右平移到A′B′；当M减少时，预算约束线由AB向左平移到A″B″。

图3－11 预算约束线的变动（a）

第二种情况：消费者收入M不变，两种商品的价格PX、PY同方向同比例发生变化。此时，预算约束线AB也会发生平移。理由是：M不发生变化，PX、PY同方向同比例变化，预算约束线的斜率不变，只能使预算约束线在横轴、纵轴上的截距、发生变化。如果此时PX、PY同方向同比例上升，则预算约束线AB向左平移，表示消费者的全部收入用来购买其中任何一种商品的数量会因价格的上升而同比例地减少；如果此时PX、PY同方向同比例下降，则预算约束线AB向右平移，表示消费者的全部收入用来购买其中任何一种商品的数量会因价格的下降而同比例地增加。如图3-12所示，当PX、PY同方向同比例上升时，预算约束线由AB向左平移到A″B″；当PX、PY同方向同比例下降时，预算约束线由AB向右平移到A′B′。

图3－12 预算约束线的变动（b）

第三种情况：消费者收入M不变，X商品的价格PX发生变化而Y商品的价格PY保持不变。此时，预算约束线的斜率会发生变化，预算约束线在横轴上的截距也会发生变化，但预算约束线在纵轴上的截距不发生变化。如果X商品的价格PX下降，预算约束线由AB移至A′B，它表示消费者用全部收入用来购买X商品的数量因PX的下降而增加，但全部收入用来购买Y商品的数量并未受到影响；如果X商品的价格PX上升，预算约束线由AB移至A″B，它表示消费者用全部收入用来购买X商品的数量因PX的上升而减少，但全部收入用来购买Y商品的数量并未受到影响。如图3-13所示，当消费者收入M不变、Y商品的价格PY不变、X商品的价格PX下降时，预算约束线由AB移至A′B；当消费者收入M不变、Y商品的价格PY不变、X商品的价格PX上升时，预算约束线由AB移至A″B。

图3－13 预算约束线的变动（c）

同理，消费者收入M不变，Y商品的价格PY发生变化而X商品的价格PX保持不变。此时，预算约束线的斜率会发生变化，预算约束线在纵轴上的截距也会发生变化，但预算约束线在横轴上的截距不发生变化。如果Y商品的价格PY下降，预算约束线由AB移至AB′，它表示消费者用全部收入用来购买Y商品的数量因PY的下降而增加，但全部收入用来购买X商品的数量并未受到影响；如果Y商品的价格PY上升，预算约束线由AB移至AB″，它表示消费者用全部收入用来购买Y商品的数量因PY的上升而减少，但全部收入用来购买X商品的数量并未受到影响。如图3-14所示，当消费者收入M不变、X商品的价格PX不变、Y商品的价格PY下降时，预算约束线由AB移至AB′；当消费者收入M不变、X商品的价格PX不变、Y商品的价格PY上升时，预算约束线由AB移至AB″。

第四种情况：消费者的收入M和两种商品的价格PX、PY都同方向同比例发生变化。此时，预算约束线不发生变化。其理由是：此时，预算约束线的斜率、预算约束线在横轴上的截距以及预算约束线在纵轴上的截距都不会发生变化。它表示消费者的全部收入用来购买两种商品中任何一种商品的数量都未发生变化。如图3-15所示，当消费者的收入M和两种商品的价格PX、PY都同方向同比例发生变化时，预算约束线AB不发生变化。

图3－14 预算约束线的变动（d）

图3－15 预算约束线的变动（e）

（四）消费者的最佳购买量

1.最优点

我们现在回顾一下上文所讲到的可乐与汉堡包的例子。消费者总是想达到可乐与汉堡包的最好的消费组合，这也就是说想达到在最高可能的无差异曲线上的组合。但由于预算约束线衡量的是消费者可以得到的总资源，因此消费者还必须达到或低于他的预算约束线。这样，我们就把无差异曲线和预算约束线结合在一起来分析消费者如何实现效用最大化。

如果把无差异曲线和预算约束线结合在一个图上，那么，消费者的预算约束线必定会与无数条无差异曲线当中的一条相切于一点，在这个切点上，消费者就实现了效用最大化，经济学家把这个点称作最优点。

我们可以用图3-16来是说明这一结论。

图3－16 消费者的最优点

在图3-16中，I1、I2、I3分别为同一平面内无数条无差异曲线中的三条，并且它们的效用排序为I1＞I2＞I3。消费者可以达到的最高无差异曲线是与预算约束线相切的无差异曲线I2，它与预算约束线的切点E点就是消费者实现效用最大化的最优点。这是为什么呢？

消费者可能更偏爱A点，因为A点在I1上，而I1所代表的效用水平大于I2，但I1与消费者的预算约束线既不相交也不相切，这说明达到I1上任何一点（例如A点）的可乐与汉堡包的数量组合在消费者收入与商品价格既定的条件下是无法实现的；与I1上任意一点相比，消费者可以负担得起B点，因为B点在预算约束线之内，但是B点是在较低的无差异曲线I3上，因此它给消费者所带来的满足程度较低；I3与预算约束线相交于D、F两点，消费者在D点和F点上所购买的可乐与汉堡包的数量也是收入与商品价格既定条件下的最大组合，但是由于I3＜I2，因此D点与F点所对应的可乐与汉堡包的数量组合仍不能达到消费者的最大效用；I2上除E点之外的任意一点（例如C点）均在消费者预算约束线之外，即所代表的可乐与汉堡包的数量组合也是消费者收入与商品价格既定条件下所无法实现的；由以上的分析可见，只有E点，消费者才能得到可乐与汉堡包的最优的数量组合，所达到的效用才是最大的。因此，我们可以说，E点是消费者在收入和商品价格既定条件下的最大效用，也是消费者在效用既定（在I2上任意一点）条件下的最小花费。

需要指出的是，在最优点E点，由于无差异曲线与消费者的预算约束线相切，因此，此时无差异曲线在E点的斜率就是预算约束线的斜率。我们在本模块的前面已经介绍过，无差异曲线的斜率是边际替代率，预算约束线的斜率是两种商品的价格之比，因此，消费者要实现效用最大化，就必须达到选择的两种商品的数量组合使边际替代率等于相对价格。用数学公式表示这一结论就是：

在本模块中，我们介绍了市场价格是消费者对物品的边际评价。上述对消费者最优选择的分析又一次说明了这一道理。消费者在做出自己的消费选择的时候，把两种商品的相对价格作为既定条件，然后选择使他的边际替代率等于这种相对价格的最优点。两种商品的相对价格是市场愿意用一种商品交换另一种商品的比率，而边际替代率是消费者愿意用一种商品交换另一种商品的比率。在消费者最优时（既消费者实现效用最大化时），消费者对两种商品的评价（用边际替代率表示）等于市场的评价（用两种商品的相对价格来表示）。在消费者最优时，不同商品的市场价格反映了消费者对这些商品的评价。

2.关于效用最大化的两种表述的比较

在本模块中，我们分别介绍了经济学家们对于消费者实现效用最大化的两种不同的表述。那么，他们的结论是否一致呢？

根据本单元关于消费者效用最大化的表述，消费者欲购买X、Y两种商品，要实现效用最大化，就必须满足以下条件。

根据本单元消费者最佳购买量的介绍，消费者要实现效用最大化，则需

下面，我们把式（1）、式（2）两个结论性公式进行比较，看一看两者是否一致。根据边际替代率的含义，我们得到：

根据边际效用的含义，我们得到：

式（4）可以变为：

式（5）可以变为：

把式（6）、式（7）分别代入式（3），我们可以得到：

根据式（8），我们可以把式（2）写为：

式（1）也可以变为：

由此可见，式（1）、式（2）的结论是一致的。

通过上述推导我们可以看出，不同经济学家从不同的角度对于消费者实现效用最大化进行了不同的表述。有的经济学家说，消费者为了实现效用最大化，就要使所有物品的每单位货币的边际效用都相等；有的经济学家说，消费者为了达到最高可能的无差异曲线，就要使其无差异曲线与预算约束线相切。在本质上，这是表述同一件事情的两种方法。