柯布-道格拉斯生产函数的一般形式是Q ＝ALαKβ（其中Q 为产出量；L 为劳动投入量；K 为资本投入量；α 和β 为正参数，分别表示产出对劳动和资本的弹性系数），指数型的函数形式比其他函数形式更能描述生产过程边际报酬递减的技术特点。柯布-道格拉斯生产函数的规模收益取决于α ＋β 的值：当α ＋β ＝1 时，行业处于规模收益不变阶段；当α ＋β ＜1 时，行业处于规模收益递减阶段，具有规模不经济性；当α ＋β ＞1 时，行业处于规模收益递增阶段，具有规模经济性。
本书所要考察的投入要素，除了劳动力和资本外，还包括二氧化碳排放空间要素的投入，因此，将柯布-道格拉斯生产函数进行扩展，得到如下的生产函数形式：
如果经济体存在规模经济，那么意味着α ＋β ＋γ ＞1。公式（5.27）两边取对数得：
1.经济计量模型、变量及数据说明
使用的数据为中国工业部门1999—2011 年36 个两位数行业的面板数据，用各两位数行业的工业总产值、从业人员年平均数和固定资产净值分别代表产出、劳动投入量和资本投入量，二氧化碳排空间投入量由本书第三章估算而得。以模型（5.28）为基础建立如下面板数据模型：
式中，i 代表行业，t 代表年份（t ＝1999，2000，…，2011）；di代表个体效应；ηt代表时间效应；εi，t为随机误差项。
2.面板单位根检验
采用的数据依然为大N 小T 型面板数据（N ＝36，T ＝13），仍使用STATA12.0 软件中的“levinlin”命令对面板数据进行单位根检验，得到如表5.20所示的检验结果。
表5.20 单位根检验结果
由表5.20 中的检验结果可知，4 个变量均为平稳变量。因此，可以对面板数据模型直接进行设定检验。(www.xing528.com)
3.模型设定检验
表5.21、表5.22 给出了模型（5.30）的设定检验结果，Hausman 检验结果表明模型（5.30）为固定效应模型，固定效应显著性检验结果进一步表明模型为时间固定效应模型。
表5.21 Hausman 检验结果
表5.22 固定效应显著性检验结果
4.估计结果及分析
如表5.23 所示，模型存在显著的组间异方差，因此我们采用稳健型估计结果进行分析。
表5.23 组间异方差检验结果
从表5.24 中的估计结果来看，稳健型OLS 估计结果较为理想，根据α ＋β ＋λ ＝0.813415 ＜1 的估计结果初步判断，中国工业部门整体上处于规模收益递减阶段，意味着中国工业部门各行业没有实现规模节约，行业规模的进一步扩大不利于全要素生产率框架下碳生产率的提高。为了保证所测算结果的可靠性，本书将继续采用DEA 方法对中国工业部门规模经济效应进行评价。
表5.24 稳健型OLS 估计方法结果
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