矩阵对策中的混合策略策略优化

定义1:设有矩阵对策G＝{S1,S2;A},其中S1＝{α1,α2,…,αm},S2＝{β1,β2,…,βn},A＝(aij)m×n,记:

定理5:对任一矩阵对策G＝{S1,S2;A},一定存在混合策略意义下的解。

定理6:设(x∗,y∗)是矩阵对策G的解,v＝VG,则:

定理7:设有两个矩阵对策:

其中α＞0为任一常数。则:

于是有:

解:

根据矩阵A,得到表11-4。

表11-4

显然G在纯策略意义下的解不存在,于是设x＝(x1,x2)为局中人甲的混合策略,y＝(y1,y2)为局中人乙的混合策略,则:(www.xing528.com)

局中人甲的赢得期望值:

取x∗＝(1/4,3/4),y∗＝(1/2,1/2),则E(x∗,y∗)＝9/2,E(x∗,y)＝E(x,y∗)＝9/2,即满足E(x,y∗)≤E(x∗,y∗)≤E(x∗,y),故x∗＝(1/4,3/4),y∗＝(1/2,1/2)分别为局中人甲和乙的最优策略。对策G的值(局中人甲的赢得期望值)VG＝9/2。

【例11-5】(优超原则的应用)已知某矩阵对策G的赢得矩阵为:

求解这个矩阵对策。

解:

由于第4行优超于第1行,第3行优超于第2行,故划去第1行和第2行,得到新的赢得矩阵:

对于A1,第1列优超于第3列,第2列优超于第4列,1/3×(第1列)＋2/3×(第2列)优超于第5列,因此去掉第3列、第4列和第5列,得到:

这时,第1行又优超于第3行,故从A2中划去第3行,得到:

对于A3,易知无鞍点存在,应用定理4,求解不等式组(Ⅰ)、不等式组(Ⅱ):

首先考虑满足

的非负解。求得解为

于是,原矩阵对策的一个解为x∗＝(0,0,1/3,2/3,0)T,y∗＝(1/2,1/2,0,0,0)T,VG＝5。