M/M/c/∞/∞模型中的10.4.1标准

关于标准的M/M/c模型各种特征的规定与标准的M/M/1模型的规定相同。另外规定各服务台工作是相互独立(不搞协作)且平均服务率相同,即μ1＝μ2＝…＝μc＝μ。于是整个服务机构的平均服务率为cμ(当n≥c);为nμ(当n＜c)。令ρ＝λ/cμ,只有当λ/cμ＜1时才不会排成无限的队列,称它为这个系统的服务强度或称服务机构的平均利用率,如图10-9所示。

图10-9

在分析这个排队系统时,仍从状态间的转移关系开始,如图10-10所示。如状态1转移到状态0,即系统中有一名顾客被服务完了(离去)的转移率为μP1。状态2转移到状态1时,这就是在两个服务台上被服务的顾客中有一个被服务完成而离去。因为不限哪一个,那么这时状态的转移率便为2μP2。同理,再考虑状态n转移到n－1的情况。当n≤c时,状态转移率为nμPn;当n＞c时,因为只有c个服务台,最多有c个顾客在被服务,n－c个顾客在等候,因此这时状态转移率应为cμPn。

图10-10

这时系统的状态概率如下:

系统的运行指标求得如下:

平均队长为:

因为

所以平均等待时间和逗留时间仍由Little公式求得:

【例10-5】某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松分布,平均到达率每分钟λ＝0．9人,服务(售票)时间服从负指数分布,平均服务率每分钟μ＝0．4人。现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票如图10-11所示。

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图10-11

试求:

①整个售票处空闲概率;

②平均队长;

③平均等待时间和逗留时间;

④顾客到达后必须等待的概率。

解:

这是一个M/M/c型的系统,其中符合要求的条件,代入公式。

①整个售票处空闲概率:

②平均队长:

③平均等待时间和逗留时间:

④顾客到达后必须等待(即系统中顾客数已有3人,即各服务台都没有空闲)的概率: