顾客源有限的情况下的M/M/1/∞/m模型分析

现以最常见的机器因故障停机待修的问题来说明。设共有m台机器(顾客总体),机器因故障停机表示“到达”,待修的机器形成队列,修理工人是服务员,本节只讨论单服务员的情形。顾客总体虽只有m个,但每个顾客到来并经过服务后,仍回到原来总体,所以仍然可以到来。在机器故障问题中,同一台机器出了故障(到来)并经修好后(服务完了)仍可再出故障(如图10-7所示)。模型的符号中第4项,写了∞,这表示对系统的容量没有限制,但实际上它永远不会超过m,所以和写成(M/M/1/m/m)的意义相同。

图10-7

关于平均到达率,在无限源的情形是按全体顾客来考虑的;在有限源的情形必须按每个顾客来考虑。为简单起见,设各个顾客的到达率是相同的λ(在这里λ的含义是每台机器单位运转时间内发生故障的概率或平均次数),这时在系统外的顾客平均数为m－Ls,对系统的有效到达率λe应是

λe＝λ(m－Ls)

对于(M/M/1/∞/m)模型的分析可用前述的方法。在稳态的情况下,考虑状态间的转移率。当由状态0转移到状态1,每台设备由正常状态转移为故障状态,其转移率为λP0,现有m台设备由无故障状态转移为一台设备(不论哪一台)发生故障,其转移率为mλP0。至于由状态1转移到状态0,其状态转移率为μP1,所以在状态0时有平衡方程mλP0＝μP1。其关系可用图10-8表示。

图10-8

这时系统的状态概率如下:

系统的各项指标为:

在机器故障问题中Ls就是平均故障台数,而m－Ls表示正常运转的平均台数。

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【例10-4】某车间有5台机器,每台机器的连续运转时间服从负指数分布,平均连续运转时间15分钟,有一个修理工,每次修理时间服从负指数分布,平均每次12分钟。试求:

①修理工空闲的概率;

②5台机器都出故障的概率;

③出故障的平均台数;

④等待修理的平均台数;

⑤平均停工时间;

⑥平均等待修理时间;

⑦评价这些结果。

解:

m＝5,λ＝1/15,μ＝1/12,λ/μ＝0．8。

⑥Wq＝46－12＝34(分钟)。

⑦机器停工时间过长,修理工几乎没有空闲时间,应当提高服务率减少修理时间或增加修理工人。