投资决策问题与资源分配问题有些相似,是指拥有一定资金,面对不同投资机会或方案,如何确定投资方案,才能使收益最大?【例8-3】属于此类问题,建模和求解过程如下:
解:
根据题意,x1,x2和x3分别为用于三种投资的金额,则该问题的数学模型:
显然,这是一个非线性规划模型,不能用单纯形法求解,但可以将其转化为动态规划模型,再求解。
(1)动态规划问题模型。
①阶段变量:三种投资可划分为三个阶段,k＝3,2,1。
②状态变量:Sk表示第k阶段投资前所拥有的资金数量,状态可能集为0≤Sk≤40。
③决策变量:三种投资所用金额xk(k＝3,2,1),决策允许集为0≤xk≤Sk。
④状态转移方程:Sk＋1＝Sk－xk。
⑤阶段函数:gk(xk)表示k阶段投资收益。
⑥最优函数。fk(Sk)表示投资第k个项目到最后项目的最大收益。
⑦动态规划基本方程为:(www.xing528.com)
(2)求解。
已知初始条件S1＝40,故采用逆序解法。
当k＝3时,最优函数为:
显然,当
当k＝2时,最优函数为:
要对二次函数f2(x2)求最值,过程如下:
求f2(x2)一阶导数并令其等于零,有f′2(x2)＝2x2－1＝0,则x2＝1/2;再求f2(x2)二阶导数,可知:f″2(x2)＝2＞0。这说明函数f2(x2)对应的二次曲线向上凹,在x2＝1/2处获得极小值,最大值出现在x2取值范围的两端,因此需要对x2取值范围两端函数值进行比较,找出最大值。根据x2的取值范围0≤x2≤S2,当x2＝0时,f2(0)＝S2;当x2＝S2时,f2(S2)＝
当
即
当k＝1时,若f2(S2)＝S2,最优函数为:
因f1(S1)或f1(x1)是关于x1的二次方程,因此可通过其一阶和二阶导数找出最值,过程如下:
综上,本题求解结果为X∗＝(0,40,0)T,Z∗＝1 600。
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