基本概念与模型要素解析

视频-5．1．2基本概念-1

视频-5．1．2基本概念-2

视频-5．1．2基本概念-3

【例5-2】某工厂计划在生产期内生产A,B两种产品,已知生产单位产品所需资源量、资源可用量及每单位产品可获得的利润如表5-2所示。

表5-2

此外,决策者需要考虑如下意见:①希望A的产量不超过6,B的产量不超过3(要求按利润大小确定权重);②最好能节约4个设备工时;③计划利润不少于48元。

对于该问题,首先需要设置决策变量,令A,B两种产品的产量为x1和x2。

在描述目标函数和约束条件之前,还需要学习以下概念:

(1)决策值与目标值。

决策值也称实际值,是指决策之后产生的实际结果,即决策变量的取值;目标值又称期望值,是指希望达到的目标。在【例5-2】中,约束条件“A的产量不超过6”可表示为“x1≤6”,决策值为“x1”,目标值为“6”;同理,约束条件“B的产量不超过3”可表示为“x2≤3”,决策值为“x2”,目标值为“3”。对于约束条件“节约4个设备工时”,决策值为“4x1＋4x2”,目标值为“36”。对于约束条件“计划利润不少于48元”,决策值为“6x1＋8x2”,目标值为“48”。

(2)偏差变量。

偏差变量用于表示决策值与目标值之间的差异,用d来表示,且规定d≥0。若决策值超过目标值,则出现正偏差变量(d＋);若决策值低于目标值,则出现负偏差变量(d－)。

对于第k个约束条件:

(3)目标约束和系统约束。

【例5-2】中的第一(k＝1)个目标约束“A的产量不超过6”,即决策值“x1”的期望值为“6”:

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目标约束含有正负偏差变量而且是等式,也称软约束。

如果没有特殊说明,原材料不能超出限制量,因此有“5x1＋10x2≤60”,称之为系统约束。系统约束是指模型中必须严格满足的约束条件,决定解的可行性(可行域),是硬约束。

(4)优先因子和权系数。

优先因子和权系数均出现在目标函数中,其中,优先因子用来表示不同目标的主次(重要程度),用Pk表示,Pk不是具体数值。Pk≫Pk＋1,说明下标越小,优先级越大,如P1≫P2,表示第一个目标优先于第二个目标,应考虑优先完成第一个目标。目标的主次往往根据问题的目标来进行判断,在【例5-2】中,“A的产量不超过6和B的产量不超过3”为第一个目标P1,应优先满足,“节约4个设备工时”和“利润不少于48元”为第二个目标P2和第三个目标P3。

权系数表示同一个目标中各个子目标的主次(重要程度),用Wki表示。即在第k个目标中,Wk1＞Wk2,表明第一个子目标优先于第二个子目标,权系数越大,重要程度越大。

在【例5-2】中,“A的产量不超过6和B的产量不超过3”为第一个目标中的两个子目标,应该对两个子目标的权重加以区分,由于生产一个A产品的利润是6元,生产一个B产品的利润为8元,说明B产品比A产品重要,因此“B的产量不超过3”比“A的产量不超过6”重要,需要使用不同的权系数在目标函数中进行表达。

(5)目标达成函数。

由于目标规划的目的是使决策值尽可能接近或达到目标值,即需要各个偏差变量尽可能小,因此目标函数是求偏差变量之和的最小值,这样的目标函数称为目标达成函数。若要求尽可能达到规定的目标值,则正负偏差变量若希望某目标的决策值不低于期望值,则只要求负偏差变量若允许某个目标的决策值不超过期望值,则只要求正偏差变量

对于【例5-2】,目标达成函数为因此,模型为:

综上所述,目标规划问题建模的步骤如下:

①根据问题设置决策变量;

②根据已知条件,确定目标值(期望值),引入偏差变量,列出目标约束与系统约束;

③给各级目标赋予相应的优先因子Pk,对同一优先级的各目标,按重要程度不同赋予相应的权系数Wki;

④确定决策变量和偏差变量的取值范围。

值得注意的是,对于某一目标,确定偏差变量的取值范围需要遵照以下规则:

①决策值恰好达到目标值,希望

②决策值超过目标值,希望

③决策值不允许超过目标值,希望