对偶问题与经济分析的重要性

视频-2．1对偶问题

在现实生活和生产经营活动中,对于同一事物(或问题),为了加深认识、理解或者实现某一目标,可以从不同角度进行分析和表述。例如,对于矩形面积和周长,既可以表述为“周长一定,面积最大的矩形是正方形”;也可以表达为“面积一定,周长最短的矩形是正方形”。这两种表达描述了一个问题的两个方面,在数学上互为对偶。一般而言,任何一个求目标函数最大值的线性规划问题都可以转化为一个求目标函数最小值的线性规划问题,反之亦然,这两个问题也是互为对偶的。对偶理论是线性规划中最重要的理论之一,是深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同时,由于对偶问题的提出本身所具有的经济意义,使得对偶规划成为经济分析和敏感分析的重要工具。那么,对偶问题又是怎样提出来的呢?

对于【例1-1】,如果工厂的决策者不打算生产,而是把原本用于生产的资源出售或者出租出去,资源的价格如何确定?显然,确定价格或租金的依据是:出售或者出租资源获得的利润不应少于使用资源进行生产所带来的利润,即出售或者出租资源的机会成本越低越好。

假设出售材料A和B及出租设备C和D所得单位利润分别为y1,y2,y3,y4(元),为解决上述问题,需要同时满足以下三个条件:

(1)保持利润水平不降低。

若将用于生产两种产品的资源出售和出租,应不低于自行生产带来的利润,对于单位产品来说,需要满足2y1＋y2＋4y3＋0y4≥2和2y1＋2y2＋0y3＋4y4≥3。

(2)资源价格最低。(www.xing528.com)

为使资源成功出售和出租,希望价格越低越好,因此,min W＝12y1＋8y2＋16y3＋12y4。

(3)资源价格非负。

资源出售和出租的价格不能为负值,因此必须满足y1,y2,y3,y4≥0。

综上,可以得到一个新的数学模型:

模型(2-1)与第1章中的模型(1-1)互为对偶模型。