优化约束条件下的最优解及最优目标函数值的步骤

【例1-8】以【例1-1】中的模型(1-1)为例,用图解法求解?

解:

第一步:建立平面直角坐标系。规定:横轴为x1,纵轴为x2,同时按比例标出刻度,如图1-1所示。

第二步:根据约束条件确定可行域。满足约束条件的解称为可行解,可行域是可行解的集合,即由所有约束条件共同围成的区域。确定可行域的步骤是,先将约束不等式变为等式,画出各等式对应的直线,然后再根据不等式符号确定可行域。

①画出约束条件对应的直线。将约束条件2x1＋2x2≤12,1x1＋2x2≤8,4x1≤16和4x2≤12中的不等式符号“≤”变成“＝”,画出方程2x1＋2x2＝12,1x1＋2x2＝8,x1＝4和x2＝3对应的直线。(www.xing528.com)

②确定可行域。对于约束条件2x1＋2x2≤12和1x1＋2x2≤8,可用原点O坐标(0,0)作为参考判断所在区域。由于x1＝0和x2＝0满足约束条件2x1＋2x2≤12和1x1＋2x2≤8,说明O点在直线2x1＋2x2＝12和1x1＋2x2＝8的左侧,因此可以判断所求区域在直线2x1＋2x2＝12和1x1＋2x2＝8的左下侧。同理,也可以判断4x1≤16和4x2≤12的区域,该问题的可行域如图1-1阴影部分所示。

图1-1

第三步:在可行域内平移目标函数等值线,确定最优解及最优目标函数值,见图1-1。

对于目标函数Z＝2x1＋3x2,目标函数等值线对应的方程为x2＝－2x1/3＋Z/3。Z/3是目标函数等值线与纵轴的截距。由于在某一确定的直线上Z值是不变的,即不同的x1和x2组合所对应的Z值都是相等的,因此称为目标函数等值线。目标函数Z＝2x1＋3x2是代表以Z为参数的一簇平行线,平行线的移动可以使截距(Z值)发生变化,向上平移目标函数等值线,可以使Z值增大,但是必须在可行域的范围之内。对于本例,目标函数等值线在可行域内向上平移,最终与可行域交于C点,此时目标函数等值线与纵轴截距最大,即Z值最大,C点的坐标(4,2)所对应的x1和x2的值即为该线性规划问题的最优解,即X∗＝(4,2)T。将x1＝4,x2＝2代入目标函数max Z＝2x1＋3x2中,得到:Z∗＝14。