线性规划问题的一般模型解析

根据上述建模举例,可对线性规划的一般模型进行总结。

(1)模型要素。

线性规划问题的数学模型包括三个要素:

①一组决策变量(x1,x2,…,xn),即模型中需要确定的未知量。

②一组约束条件,即资源限制条件以及决策变量受到的约束限制,包括两个部分:不等式组或方程组、决策变量的取值范围。

③一个目标函数,即关于决策变量的最优函数,求max或min。

(2)模型的一般形式。

假设模型有n个决策变量,m个约束条件,则线性规划问题的一般模型为:

可简写为:(www.xing528.com)

进一步化简为:

线性规划问题的一般模型也经常写成矩阵或向量形式:

其中,X＝(x1,x2,…,xn)T;C＝(c1,c2,…,cn)为价值向量,cj为价值系数;A为技术矩阵,aij为技术系数(或工艺系数),见模型(1-8)。价值向量b＝(b1,b2,…,bn)T。

A也可写成A＝(P1,P2,…,Pn),其中,P1＝(a11,a21,…,am1)T,P2＝(a12,a22,…,am2)T,…,Pn＝(a1n,a2n,…,amn)T。

在实际问题中,决策变量的取值范围通常为非负,但对于模型本身来说,可以是xj≤0或xj无符号限制(取值无约束)。注意,模型(1-4)~(1-7)具有以下特征:

①解决的是规划问题;

②目标函数是关于决策变量的线性表达式(求最大值或最小值);

③约束条件是关于决策变量的线性不等式或等式。因此,上述模型称为线性规划问题模型(简称线性规划模型)。