在决策中经常遇到这样的问题，即如何将有限的人力、物力、资金合理地投入和运用，产出社会所需要的更多的使用价值，为企业取得最好的经济效益。用数学方法表示，就是在一组约束条件下，寻求某一目标函数的最大值或最小值。当约束条件表示为线性等式或不等式（或方程式），目标函数为线性函数时，就称为线性规划问题。
1.数学模型
线性规划研究的内容可以概括为两个方面：
一是如何统筹安排，做到以最少的资源投入获得预定产出（极小值问题）；二是如何合理使用和调配资源，做到用一定数量的资源投入，获得最大的产出（极大值问题）。因此，线性规划模型的基本结构为：
（1）变量：指决策问题需要控制的因素，亦称为决策变量。一个模型决策变量的多少，决定于对所要决策问题需要控制的程度。要求控制的程度越高，需要考虑的因素和约束条件就越多。同样，模型的变量越多，就越能够反映实际情况，但模型的求解就越复杂、越困难。
（2）目标函数：指对决策问题要求达到的预定目标的数学描述，是一个极值问题，即极大值或极小值问题。例如要实现企业管理目标是产值最大、利润最大、效率最高，或者是成本最低、费用最少、时间最短等。
（3）约束条件：指实现预定目标的限制因素。如生产领域可利用设备的能力、原料和动力的供应数量、电能质量等，其数学形式是一组线性等式或不等式。
例12-3：某供电公司准备搞高能耗变压器改造（A）、防漏电保安器（B）两种产品，各产品要经过三个加工车间，每种产品在每个车间里所需要的工时和每个车间总的可以用来加工的时间如表12-2所示。
表12-2 产品所需工时
经计算知，生产A产品可盈利10元/kVA，生产B产品可盈利12元/件。决策的目标是要获得最大利润额而研究A、B两产品的组合问题。下面用线性规划模型描述这些条件及要求：
设变量x1为生产A产品容量，变量x2为生产B产品数量，依题意则有目标函数为：z（总盈利额）max=10x1+12x2
约束条件为：
对于具有n个变量、m个等式（或不等式）的线性规划问题，其模型的一般数学形式可表示为
式中 xj——变量；
cj——为目标函数的系数；
aij——为技术性系数，表示第j种活动消耗资源i的数量；
bi——为资源约束常数。其中，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n。(www.xing528.com)
2.线性规划的基本解法
线性规划问题的解法，目前一般采用图解法和单纯形法。这里主要介绍图解法。
线性规划的图解法，一般只研究一个二维线性规划问题，因为超过三维，就无法画出图形来。图解法虽然只适用于分析两个决策变量的简单线性规划问题，实用价值也许不大，但从这种解法中却能够总结出求解多变量线性规划问题的一般规律。在说明解题思路之前，先介绍几个概念。
可行解：凡事满足约束条件的解，称为可行解；
最优解：既满足约束条件，又使目标函数达到最大值或最小值的解，称为最优解；
可行域：对约束条件所包含的范围，即满足约束条件的所有可行解的集合区域，称为可行域。
图解法的基本步骤：
（1）将约束条件加以图解，求得满足约束条件的可行域。
（2）结合目标函数，绘出目标函数图，找到最优解。根据线性规划原理可知，最优解只能在可行解区边界角上，即凸集的集点上。
结合上面实例来说明。
以X轴表示A产品容量，以Y轴表示B产品数量，则上面约束条件的三个不等式均可在图上表示出来。对于第一个约束条件，可在图上作2x1+3x2=1500直线AB，这时，AB线上及其左下侧的点全部满足约束条件2x1+3x2≤1500。同理，对于第二个约束条件3x1+2x2≤1500，第三个约束条件x1+x2<600，分别有CD、EF线上及其左下侧的点满足之。如图12-4所示。
图中阴影部分，即四边形OEGB，就是可行解的区域。它包括满足初始不等式组的全都可能的产品组合。
根据目标函数，设z=1200，再作z=10x1+12x2直线Z0。在坐标平面上，它可以表示成一组具有相同斜率的平行直线，位于同一条直线上的具有相同的目标函数值，因而称其为等值线。将Z0线向右上方平行推移，直至目标函数线Z0与可行解区只有一个交点。如果Z0线再向上移，脱离了可行解区，就越出了约束条件，如图12-5所示。
图12-4 可行区域图
图12-5 目标函数图
Z0线与可行解区域交于G。G点的正值即为目标函数的极值。对应的坐标为x1=300，x2=300，这就是使盈利额达到最大的最优解。此时
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