数据包络分析（DEA）方法简介

DEA是评价多种投入与多种产出的同质决策单元（Decision Making Units， DMUs）相对效率的非参数规划方法，是运筹学、管理科学、系统科学与数理经济学等多学科交叉研究的重要方法。该方法自1978年由三位学者Charnes， Cooper与Rhodes^[8]首次共同提出以来，被广泛应用于各类实践场景下的绩效评价。所谓决策单元的同质性，包括决策单元具备相同的目标和任务、具有相同的运作性质和外部环境、拥有一致的多维度输入和输出指标。本研究评价对象即决策单元为生态投入和生态文明产出刻画下的中国35个大中城市，符合同质性要求。

1. DEA效率

DEA效率值（DEA Efficiency）所度量的是决策单元的实际生产能力与其所对应的前沿生产能力间的差距，一般通过求解相应DEA模型而得到。Farrell^[9]首次提出多投入下的企业效率评估的概念，并进行了技术效率测量：

Farrell将生产单元或决策单元（DMU）的经济效率（Economic Efficiency，EE）划分为技术效率（Technical Efficiency，TE）和配置效率（Allocative Efficiency，AE）两类。其中，技术效率是指在投入要素固定的前提下，某DMU的实际产出量同理想状态下的产出量（即同样投入下可以实现的最大产出）之比。如果实际产出与理想产出间存在差距，则说明该DMU是非技术有效的。技术效率代表既定投入水平下，利用现有技术条件可以获取的最大产出能力。配置效率则表示在产出量固定以及技术有效的前提下，某DMU的最小成本与实际成本之比。配置效率反映了既定的生产技术条件和价格水平下，DMU最优配置投入要素的能力。

DEA效率所反映的是一种相对效率，并非绝对效率，评估结果是相对于某一个特定的生产可能集（或参考集）而言的。生产可能集一旦发生变化，那么技术效率也很可能随之产生变化。另外，DEA效率值所度量的是决策单元的实际生产能力与其所对应的前沿（最大可能）生产能力间的差距，实际生产能力不会优于理想生产能力，因此在一般情况下，DEA效率值在[0， 1]之间，且无量纲之分。

图2-7　DEA效率的基本分析原理

DEA效率的基本分析原理，见图2-7。以双投入、单产出的五个决策单元A、 B、 C、 D、 E为例，来说明DEA效率的基本分析原理，在此例中，所有决策单元具有相等的产出量。

决策单元A、 B、 C、 D位于生产前沿面（包络面）上，因此都是技术有效的；决策单元E在包络面的右上方，是非技术有效的。生产前沿面是由一系列分线段组成的等产量线的组合，使得所有决策单元均位于前沿面上或其上方位置。非有效决策单元E在前沿面上对应的决策单元为D，决策单元D可表示为B和C的线性组合，使用D的投入量就可制造出和E等量的产出水平。这说明决策单元E消耗了过多的投入资源，相对于技术有效的D来说，E是无效的，其效率值可用OD/OE来度量。图2-7表明OD/OE＜1，决策单元E是技术无效（非技术有效）的；如果OD/OE=1，则说明E与D在前沿面上重合，决策单元E也是有效的。

DEA正是基于上述思想，通过被评价决策单元与其对应生产前沿面上的线性组合的距离比值，构造线性规划模型来评价各个决策单元的相对效率。该方法日益成为管理科学与系统工程领域一种重要而有效的数学分析工具。(www.xing528.com)

2. 数据包络分析理论基本假设

假设一个生产系统中有独立且同质的n个决策单元（DMU），用DMUj （j=1， 2， …， n）表示。每个决策单元都消耗同样m种投入，以制造同样s种产品，投入和产出向量分别记为

由上述n对投入-产出向量组成的集合T称为参考集

集合={（X，Y ）|投入X可以产出Y}称为所有可能的生产活动所构成的生产可能集，一般满足如下公理假设：平凡公理、凸性公理、锥性公理（收缩性公理、扩张性公理）、无效性公理、最小性公理。基于上述基本公理，可得到几种最为经典DEA模型的生产可能集^[10]。

3. 基于松弛变量的SBM模型

SBM模型由Tone^[11]提出，其主要思想是将松弛变量的优化求解结果折算为效率测度，研究决策单元的效率评价问题。基于规模收益不变（Constant Returns to Scale， CRS）假设的SBM模型

该SBM模型在CRS假设下，研究各DMU的投入产出状况：当ρ＜1时，说明DMUo在生产过程中不必要地消耗了过多的投入资源，没有达到技术可行范围内的生产能力，s-不为零说明存在投入过剩的情况，s+不为零说明存在产出不足的情况，也说明DMUo是非有效的；当ρ=1且各个松弛变量均为零时，代表DMUo的任何投入量均不能再减少，以及任何产出量不能再增加，说明DMUo是有效的。

本研究采用规模收益不变假设下的SBM模型评估城市可持续发展绩效。具体效率计算中，从生态文明发展指数和生态投入指数两个方面，共选用5个维度指标，包括经济产出指标、社会产出指标、环境产出指标、资源消耗指标和污染排放指标，能够从经济、社会和环境发展水平、资源消耗程度及污染排放状况等方面综合评价城市的可持续发展状况。