投入产出模型的基本等式关系

投入产出分析关注的是经济体（企业、社区、地区、国家、全球）在一定时期内所发生的生产和交易活动，通过一组线性方程描述各个部门的产品在整个经济体中的分配或投入情况。假设研究对象是一个封闭经济体，该经济中包含n个部门（产业或产品部门），令zij表示某一时期部门j在生产活动中所使用的部门i的产品价值；yi表示对部门i产品的最终需求，包括居民消费、政府购买、固定资产投资和库存调整等项；xi表示部门i的总产出。则部门i的产出满足以下等式：

令

则等式（6.1）可以改写为如下矩阵形式：

其中，i是一个元素都为1的n*1向量。等式（6.2）反映了各部门产出的使用分配情况。令

其中，aij表示部门j单位产出所需要的部门i产品的直接投入，称为直接消耗系数；则等式（6.2）可以变换成如下矩阵形式：

通过移项和矩阵求逆，等式（6.3）等价于：(www.xing528.com)

其中，矩阵L被称为里昂惕夫逆矩阵，其元素lij表示部门j单位产出所需要直接和间接投入的部门i产品，称为完全需要系数。等式（6.4）被称为里昂惕夫模型，也称需求拉动型投入产出模型（Demand-pull Input-Output Model）。

从部门生产投入的角度来看，矩阵Z的第j列反映了部门j生产过程中所使用的中间产品的部门来源分布。令vj表示部门j生产过程中所使用的初始投入，一般包括固定资产折旧、劳动者报酬、生产税净额和营业盈余等项目，则部门j的生产投入满足以下等式：

令v=[v1…vn]，则等式（6.5）可以改写为以下矩阵形式

其中，撇号表示矩阵转置。等式（6.6）反映了各部门的生产投入情况。