资金等值计算公式及应用场景分析

时间：2023-06-09 理论教育版权反馈

【摘要】：资金一次性支付时的等值计算公式有：1.一次性支付终值公式如图2-3所示，已知现值为P，计息期数为n，复利利率为i，n期末的复本利和（终值）F的计算公式为F=P（1+i）n （2-3）式中（1+i）n——一次性支付（整付）复本利和系数，记为，其值可查复利系数表。解由式有（四）特殊现金流支付系列的情况1.等差支付系列的等值计算公式当现金流量随着时间的延长每年以等额递增（或递减）的方式进行时，便形成了一个等差支付系列。

资金等值计算公式及应用场景分析

（一）资金等值计算中的基本符号规定

在资金等值计算（复利计算）中的基本符号规定如下：

P——现值（本金或期初金额），即货币资金的现时价值，一般位于所取时间坐标的起点（或零期，例如建设项目开始的第一年年初）。

F——终值（未来值或复本利和），即相对于现值若干计息期后的价值，位于所取时间坐标的终点（n期末，这里，n=1，2，…）。

A——等额值，表示各期支付的金额相等，位于各期期末；当时间单位为年时，又称为等额年值或年金。

n——计息期数，其时间单位可以是年、季、月或日，具体运用公式时，要求应与复利利率的时间单位相一致。

i——计息期的利率。

（二）一次性支付的复利计算公式

资金一次性支付（又称整付），是指支付系列中的现金流量，无论是流出或是流入，均在一个时点上一次性全部发生。资金一次性支付时的等值计算公式有：

1.一次性支付终值公式

如图2-3所示，已知现值为P，计息期数为n，复利利率为i，n期末的复本利和（终值）F的计算公式为

F=P（1+i）ⁿ （2-3）

式中（1+i）ⁿ——一次性支付（整付）复本利和系数，记为（F/P，i，n），其值可查复利系数表。

于是式（2-3）可写作

F=P（F/P，i，n）（2-4）

图2-3 一次性支付时的现金流量图

【例2-1】某企业向银行贷款100万元，如果贷款年利率按7%计，贷款期限为5年，第5年年末一次性归还本息，按复利计算，那么5年后企业应偿还的金额为多少万元？

解按式（2-3）、式（2-4）计算

F=P（1+i）ⁿ=100万元×（1+7%）⁵=140.26万元=P（F/P，i，n）=100万元×1.4026=140.26万元

2.一次性支付现值公式

如图2-3所示，已知终值为F，计息期数为n，复利利率为i，则现值P为

式中 ——一次性支付（整付）现值系数，记为（P/F，i，n），其值可查复利系数表。

于是式（2-5）可写作

P=F（P/F，i，n）（2-6）

【例2-2】某人欲在10年后从银行拿到5万元，在年利率为10%的条件下，现在需要存入多少金额？

解按式（2-5）计算

（三）等额支付类型

等额支付是指每个时间周期所支付的金额是相等的。等额支付时的现金流量图有两种情况，如图2-4和图2-5所示。

1.等额支付的复本利和公式

如图2-4所示，将每期的A值看做一笔整付（一次性支付）值，由式（2-3）有

F=A（1+i）^n-1+A（1+i）^n-2+…+A（1+i）+A （2-7）

式（2-7）的等式两端同时乘以（1+i），然后再减去式（2-7）的等式两端，有

图2-4 现金流量A与F的关系图

图2-5 现金流量A与P的关系图

Fi=A[（1+i）ⁿ-1] （2-8）

故有

式中 ——等额支付复利系数，记为（F/A，i，n），其值可查复利系数表。

于是式（2-9）可写作

F=A（F/A，i，n）（2-10）

【例2-3】银行向某企业每年提供500万元的贷款，连续提供10年，每年年初注入，到第10年年末一次性还本付息，若年利率为8%，则企业应偿还的金额为多少万元？

解现金流量图如图2-6所示。

根据现金流量图，可知第1年年初的本金在第10年年末的数值为

F₁=A（1+i）ⁿ=500万元×（1+8%）¹⁰=500万元×2.1589=1079.45万元

图2-6 现金流量图

从第1年年末到第9年年末的年金，根据等额支付复利系数计算到第9年年末，再折算到第10年年末的数值为

所以第10年年末应偿还的资金总额为

F=F₁+F₂=1079.45万元+6743.31万元=7822.76万元

可简化为

F=A（F₁/A，i，n）（1+i）=500万元×14.4866×1.08=7822.76万元

因此，若在n个周期中，每个周期开始时支出（或收入）等额值A，当年利率为i时，第n年年末的本利和为

F′=A（F/A，i，n）（1+i）（2-11）

2.偿债基金公式

由式（2-9）有

此时A的含义为，若在n期末需要积存F数额的资金用于偿还债务，且利率为i，则每期末应积存的金额就为A。于是将称为偿债基金系数，记为（A/F，i，n），其值可查复利系数表。于是式（2-12）可写作

A=F（A/F，i，n）（2-13）

【例2-4】某人在7年后需要10000元的款项，打算每年存入银行一定数额的款项，若存款利率为8%，则每年年末应存款多少？

解由式（2-12）有

3.等额支付的现值公式

由图2-5可知，若已知等额值为A，计息期为n，利率为i，则与该等额支付系列等值的现值P可由前述等值计算公式导出。由式（2-3）有F=P（1+i）ⁿ，由式（2-9）有由于两F的值应相等，有等式

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于是有

式中 ——等额支付现值系数，记为（P/A，i，n），其值可查复利系数表。

于是式（2-14）可写为

P=A（P/A，i，n）（2-15）

【例2-5】某公司拟投资一个项目，预计建成后每年获利10万元，3年后收回全部投资的本利和。设贷款利率为10%，问该项目总投资为多少万元？

解由式（2-14）有

4.资本回收公式

由式（2-14）有，当P为已知而A为未知时，反求A，有计算公式

该式表明，若在期初（零期）投入资金P，在第n年年末要完全回收资本P（投资额），若每年末回收的金额相等（均为A），则只需投资额P乘以系数就可计算出每一年应回收的金额A，故称为资本回收系数，记为（A/P，i，n），其值可查复利系数表。于是式（2-16）可写为

A=P（A/P，i，n）（2-17）

【例2-6】某设备初期投资为20000元，若该设备使用年限为10年，年利率为10%，则年均设备费用为多少？

解由式（2-16）有

（四）特殊现金流支付系列的情况

1.等差支付系列的等值计算公式

当现金流量随着时间的延长每年（或单位时间）以等额递增（或递减）的方式进行时，便形成了一个等差支付系列。如图2-7所示，设第1年年末的支付值为A₁，等差值为G，于是第2年年末的支付值为A₁+G，第3年年末的支付值为A₁+2G，……，至第n年年末，其支付值为A₁+（n-1）G。

对于这样一个等差支付系列的等值计算，一种简便的方法是将其分解为两个与之等价的支付系列：一个是等额值为A₁的等额支付系列；另一个是由0，G，2G，…，（n-1）G组成的等差支付系列，如图2-8所示。

图2-7 等差支付系列现金流量图

图2-8 图2-7的分解图示

a）支付系列一 b）支付系列二

由图2-8可见，支付系列一是各年末支付值为A₁的等额支付系列，其等值计算问题在前述的式（2-9）及式（2-14）已解决；支付系列二是等差值为G的等差支付系列，如果能将其转换为年末支付的等额支付系列，那么也可以利用式（2-9）及式（2-14）进行等值计算。

由图2-8的支付系列二可知，将每期末的支付值作为一笔整付（一次性支付）值看待，于是，与支付系列二等值的终值（复本利和）F₂为

F₂=G（1+i）^n-2+2G（1+i）^n-3+3G（1+i）^n-4+…+（n-2）G（1+i）+（n-1）G （2-18）

式（2-18）两端同时乘以（1+i）再减去式（2-18）两端，有

F₂i=G（1+i）^n-1+G（1+i）^n-2+G（1+i）^n-3+…+G（1+i）²+G（1+i）+G-nG （2-19）

由式（2-7）可见，式（2-19）可写成

F₂i=G（F/A，i，n）-nG （2-20）

故有

因有

A₂=F₂（A/F，i，n）（2-22）

故有

式中 ——等差系列等额支付系数，记为（A/G，i，n），其值可查复利系数表。

于是式（2-24）可写为

A₂=G（A/G，i，n）（2-25）

式（2-24）表明，以等差值为G的前述支付系列二与等差年值A₂的支付系列“等值”。求出A₂后，将其与A₁相加，就可得到等额年值A，即

A=A₁+A₂ （2-26）

有了等额年值A后，与图2-7的支付系列等值的复本利和F、现值P即可分别用式（2-9）和式（2-14）计算。

【例2-7】有一机械设备，在使用期限5年内，其维修费在第1、2、3、4、5年末的金额分别为500元、600元、700元、800元和900元，若年利率以10%计，试计算该项费用的终值F和现值P。

解由题意有A₁=500元，G=100元，n=5，i=10%；将其分解为一个等值额为A₁的等额支付系列和一个等差支付系列，其中F₁和F₂可由式（2-9）和式（2-21）得出。

则F=F₁+F₂=4157.65元

其对应的现值P为

2.等比支付系列的等值计算公式

如图2-9所示，当现金流量值每期以某一固定的百分率增加（或减少）时，就构成了一个等比支付系列，例如交通量逐年增加的百分率，原材料价格上涨的百分率等。在涉及这一类问题的支付情况并按复利计算时，就可以用等比支付系列的等值计算公式进行计算。在图2-9中，第t期期末的值为A_t，式中，A_t为第t年年末的现金流量值；A₁为第一年年末的现金流量值；j为每年递增（或递减）的百分率。

按式（2-18）和式（2-22），将每期末的值作为整付值，转换为现值，则有