非参数欧拉方程模型的识别方法探析

类似于其他结构参数模型，在估计欧拉方程模型（4.7）的边际效用函数g和贴现因子b之前，必须讨论欧拉方程的可识别性，即研究识别g和b的方法。首先，如果结构（g，b）∈Θ≡G×（0，1），其中，G表示边际效用函数的参数空间，由方程（4.7）可知，对于给定的贴现因子b，若存在某个常数k0∈R使得g＝k0 g′，那么在欧拉方程模型中是无法区分g与g′的。因此，必须首先对模型施加标准化的约束。

为了简化表述，本章假设只投资一种资产，其收益率为Rt。事实上，下面有关识别性的讨论也可以直接推广为同时投资多种资产的情形。

定义4.3.1：给定（Rt+1，Ct+1，Vt+1，Ct，Vt）的联合分布，则l维变量向量（Ct，Vt）支撑集S⊆Rl的子集

被称为欧拉方程（4.7）的被识别集。并且，集合

被称为欧拉方程（4.7）的被识别集。并且，集合

分别称为b和g的被识别集。

另外，给定（Rt+1，Ct+1，Vt+1，Ct，Vt）的联合分布，若欧拉方程（4.7）的被识别集S0是单点集，则欧拉方程被点识别。

定义4.3.2：如果线性算子A的将空间M的有界子集映射为相对紧致子集^[1]，则称线性算子A的为紧致算子。

为了研究欧拉方程的点识别性，Escanciano et al.（2013）给出如下基本概念和假定。

假设μ是定义在变量向量（Ct，Vt）的支撑集合S上的测度，L2（S，μ）是可测空间（S，μ）上μ可积函数构成的Hilbert空间，其中L2的内积定义为〈g，f〉＝∫gfdμ、范数为‖g‖2＝〈g，g〉。显然，如果识别和估计结果对一般的μ均成立，则μ是支撑集合S上的概率测度时，结论也成立。

为此，对于L2的线性子空间M，∀g∈M，

分别称为b和g的被识别集。

另外，给定（Rt+1，Ct+1，Vt+1，Ct，Vt）的联合分布，若欧拉方程（4.7）的被识别集S0是单点集，则欧拉方程被点识别。

定义4.3.2：如果线性算子A的将空间M的有界子集映射为相对紧致子集^[1]，则称线性算子A的为紧致算子。

为了研究欧拉方程的点识别性，Escanciano et al.（2013）给出如下基本概念和假定。

假设μ是定义在变量向量（Ct，Vt）的支撑集合S上的测度，L2（S，μ）是可测空间（S，μ）上μ可积函数构成的Hilbert空间，其中L2的内积定义为〈g，f〉＝∫gfdμ、范数为‖g‖2＝〈g，g〉。显然，如果识别和估计结果对一般的μ均成立，则μ是支撑集合S上的概率测度时，结论也成立。

为此，对于L2的线性子空间M，∀g∈M，

定义了一个线性变换算子A：（M，‖·‖）→（M，‖·‖），即Ag∈M。

假定4.3.1：存在（g，b）∈Θ≡G×（0，1），g≠0，使得方程4.7成立。

假定4.3.2：算子A：（M，‖·‖）→（M，‖·‖）是紧致算子。

对于向量（Ct，Vt）的支撑集合是S⊆Rl，记

定义了一个线性变换算子A：（M，‖·‖）→（M，‖·‖），即Ag∈M。

假定4.3.1：存在（g，b）∈Θ≡G×（0，1），g≠0，使得方程4.7成立。

假定4.3.2：算子A：（M，‖·‖）→（M，‖·‖）是紧致算子。

对于向量（Ct，Vt）的支撑集合是S⊆Rl，记

为g的参数空间。

并且，在上述的假定下，Escanciano et al.（2013）证明了下面命题。

命题4.3.1：在假定4.3.1和4.3.2下，b的被识别集B0是有限集合，g的被识别集G0是有限维子集的并集合。

于是，如果线性算子A的像空间

R（A）＝｛f∈M：∃g∈M，Ag＝f｝是有限维的，则(www.xing528.com)

为g的参数空间。

并且，在上述的假定下，Escanciano et al.（2013）证明了下面命题。

命题4.3.1：在假定4.3.1和4.3.2下，b的被识别集B0是有限集合，g的被识别集G0是有限维子集的并集合。

于是，如果线性算子A的像空间

R（A）＝｛f∈M：∃g∈M，Ag＝f｝是有限维的，则

其中，｛φi，i＝1，…，I｝是张成像空间R（A）的函数集，｛Li（g），i＝1，…，I｝是一族线性算子。

并且，在式（4.10）的条件下，对于满足欧拉方程

其中，｛φi，i＝1，…，I｝是张成像空间R（A）的函数集，｛Li（g），i＝1，…，I｝是一族线性算子。

并且，在式（4.10）的条件下，对于满足欧拉方程

的向量β＝（β1，…，βI），方程4.7的任意潜在解必然具有形式

的向量β＝（β1，…，βI），方程4.7的任意潜在解必然具有形式

反之，对于b∈（0，1），若

反之，对于b∈（0，1），若

的解存在，则β是I×I阶矩阵（Li（φj））i，j的特征向量。然而，矩阵（Li（φj））i，j的特征向量β和特征值的个数不会超过I。因此，如果线性算子A的像空间是有限维的，欧拉方程的被识别集合是有限的。

而且，由命题4.3.1可知，若b可由对应特征值的有限集识别，且g可由特征函数的对应集合识别，则欧拉方程是部分可识别的。

下面讨论投资多种资产的情况，假设有代表性的代理人可以投资J种资产，于是，可得到J个欧拉方程。并且，对每一种资产的欧拉方程应用命题4.3.1将得到一个被识别集。所以，真实的结构（g，b）必然落在这些被识别集合的交集中。

鉴于上面给出的假设4.3.1—4.3.2并不是欧拉方程模型点识别的充分条件，Escanciano et al.（2013）对边际效用函数的形态施加了一种约束，这种约束广泛适用于一般的参数边际效用函数。特别地，对于边际效用函数为正的约束，记P≡｛g∈M：g≥0｝为M中非负函数的子集、P+≡｛g∈M：g＞0｝表示严格正函数的子集，并且假定集合P和P+均是非空的。

假定4.3.3：当g∈P且g≠0时，Ag∈P+。

显然，将对边际效用函数非负的形态约束和标准化约束合并后，参数空间被约束为G＝｛g∈P：‖g‖＝1｝。并且，Escanciano et al.（2013）得到了如下的点识别定理。

命题4.3.2，在假定4.3.1—4.3.3下，则结构（g，b）∈G×（0，1）是点识别的。

事实上，为了便于推导欧拉方程模型估计量的渐近性质，这里仅仅讨论了点识别的充分条件——假定4.3.1—4.3.3，但是它们并不是点识别的必要条件。文献Escanciano＆Hoderlein（2012）提出了点识别更弱的充分条件。

的解存在，则β是I×I阶矩阵（Li（φj））i，j的特征向量。然而，矩阵（Li（φj））i，j的特征向量β和特征值的个数不会超过I。因此，如果线性算子A的像空间是有限维的，欧拉方程的被识别集合是有限的。

而且，由命题4.3.1可知，若b可由对应特征值的有限集识别，且g可由特征函数的对应集合识别，则欧拉方程是部分可识别的。

下面讨论投资多种资产的情况，假设有代表性的代理人可以投资J种资产，于是，可得到J个欧拉方程。并且，对每一种资产的欧拉方程应用命题4.3.1将得到一个被识别集。所以，真实的结构（g，b）必然落在这些被识别集合的交集中。

鉴于上面给出的假设4.3.1—4.3.2并不是欧拉方程模型点识别的充分条件，Escanciano et al.（2013）对边际效用函数的形态施加了一种约束，这种约束广泛适用于一般的参数边际效用函数。特别地，对于边际效用函数为正的约束，记P≡｛g∈M：g≥0｝为M中非负函数的子集、P+≡｛g∈M：g＞0｝表示严格正函数的子集，并且假定集合P和P+均是非空的。

假定4.3.3：当g∈P且g≠0时，Ag∈P+。

显然，将对边际效用函数非负的形态约束和标准化约束合并后，参数空间被约束为G＝｛g∈P：‖g‖＝1｝。并且，Escanciano et al.（2013）得到了如下的点识别定理。

命题4.3.2，在假定4.3.1—4.3.3下，则结构（g，b）∈G×（0，1）是点识别的。

事实上，为了便于推导欧拉方程模型估计量的渐近性质，这里仅仅讨论了点识别的充分条件——假定4.3.1—4.3.3，但是它们并不是点识别的必要条件。文献Escanciano＆Hoderlein（2012）提出了点识别更弱的充分条件。