非参数欧拉方程模型探究

在通常情况下，一个经济行为人的最优跨期选择规则均可表示为一阶欧拉方程。欧拉方程作为求解动态目标规划问题的基本模型在经济学众多分支领域广泛使用。例如，最优消费路径选择、跨期资产组合选择和劳动供给的动态安排等。于是，对动态最优行为的实证研究离不开对欧拉方程的识别与估计。特别是为了建立考虑消费的资产定价模型，Hansen＆Singleton（1982）提出分析具有理性预期的欧拉方程的广义矩估计方法。因此，本节将重点讨论该欧拉方程的非参数识别及估计方法。

为了便于行文，首先借助基于消费的资产定价模型的欧拉方程来界定相关的概念。

假设有代表性消费者选择随机消费Ct和一期债券投资Dt（即，一期到期的资产投资项目）计划的目标是在预算约束条件

下，使一生的效用的现值

最大化。

于是，该动态规划问题的一阶条件为

其中，b代表主观贴现因子；Ct为t时刻的消费；Vt是包含耐用品消费、滞后消费等可能影响效用的其他经济变量的向量；Rt是t期投资的（毛）收益率；Wt是在t期末消费者的工资收入；g是消费的边际效用函数∂U／∂Ct；Et（·）是在t期的信息集下的条件期望算子。则按实际值计算的一阶条件式（4.7）说明当期增加一单位消费的边际效用等于当期增加一单位投资在下一期期望收益的现值。一般地，把式（4.7）称为欧拉方程模型。

为了规范欧拉方程模型识别的表述，显然，欧拉方程模型是结构（g，b）∈Θ≡G×（0，1）的集合。所以，欧拉方程模型可全局识别的本质是对于可观测变量Ct、Vt、Rt和Wt给定的样本数据，在集合Θ≡G×（0，1）中可确定唯一的结构（g，b）。

在基于消费的资产定价实证研究中，欧拉方程模型4.7通常改写为

其中被称为t+1期的定价核或随机贴现因子（SDF）。那么，欧拉方程模型可以表示为风险溢价（或超额收益）的形式(www.xing528.com)

其中被称为t+1期的定价核或随机贴现因子（SDF）。那么，欧拉方程模型可以表示为风险溢价（或超额收益）的形式

其中R0t是无风险资产的收益率。

事实上，方程（4.8）是Hanse＆Singleton（1982）构成广义矩估计方法的条件矩约束。

另外，在Hall（1978）、Hanse＆Singleton（1982）和Campbell＆Cochrane（1999）等文献中，假设边际效应函数g或者定价核Mt被参数化为有限维参数的已知参数模型。而且，在文献Chen＆Ludvigson（2009）和Chen et al.（2014）中，边际效应函数g或者定价核Mt被半参数化，即欧拉方程模型被设定为半参数形式。

不同于Newey＆Powell（2003）、Ai＆Chen（2003）和Darolles et al.（2011）等文献，本章借鉴Escanciano et al.（2013）的研究方法将定价模型写成方程（4.7）而非方程（4.8）的形式。因此所需估计的变量也从Mt变成g。相比之下，方程（4.7）的优势在于它属于第二类弗雷德霍姆线性方程（Fredholm linear equation）。因此，与方程（4.8）不同，解方程（4.7）时可以得到性质良好的广义逆，使得推断具有更好的渐近性质（Escanciano et al.，2013）。尤其，在求解方程（4.7）时，准贴现因子b及其相关的边际效用函数g可写成一个确定条件均值算子的特征值—特征函数的偶对。在算子紧致的假设下，Kress（1999）的经典结论保证了特征值个数是可数的。对准贴现因子的约束集合b＜1简化为一个有限集合，即可得出有限集合的识别结果。因此，贴现因子可局部识别。为了得到b和g的全局点识别，Escanciano et al.（2013）指出需要添加额外的识别约束条件，例如，效用是消费的递增函数，即边际效用函数g为正。根据Perron-Frobenius定理（Krein＆Rutman，1950）的无限维扩展，可以得出一个唯一的正特征值—特征函数偶对，这也就提供了一种非参数点识别方法。另外，根据这种识别方法，Escanciano et al.（2013）也提出了一种估计边际效用函数g和贴现因子b的非参数估计量。

其中R0t是无风险资产的收益率。

事实上，方程（4.8）是Hanse＆Singleton（1982）构成广义矩估计方法的条件矩约束。

另外，在Hall（1978）、Hanse＆Singleton（1982）和Campbell＆Cochrane（1999）等文献中，假设边际效应函数g或者定价核Mt被参数化为有限维参数的已知参数模型。而且，在文献Chen＆Ludvigson（2009）和Chen et al.（2014）中，边际效应函数g或者定价核Mt被半参数化，即欧拉方程模型被设定为半参数形式。

不同于Newey＆Powell（2003）、Ai＆Chen（2003）和Darolles et al.（2011）等文献，本章借鉴Escanciano et al.（2013）的研究方法将定价模型写成方程（4.7）而非方程（4.8）的形式。因此所需估计的变量也从Mt变成g。相比之下，方程（4.7）的优势在于它属于第二类弗雷德霍姆线性方程（Fredholm linear equation）。因此，与方程（4.8）不同，解方程（4.7）时可以得到性质良好的广义逆，使得推断具有更好的渐近性质（Escanciano et al.，2013）。尤其，在求解方程（4.7）时，准贴现因子b及其相关的边际效用函数g可写成一个确定条件均值算子的特征值—特征函数的偶对。在算子紧致的假设下，Kress（1999）的经典结论保证了特征值个数是可数的。对准贴现因子的约束集合b＜1简化为一个有限集合，即可得出有限集合的识别结果。因此，贴现因子可局部识别。为了得到b和g的全局点识别，Escanciano et al.（2013）指出需要添加额外的识别约束条件，例如，效用是消费的递增函数，即边际效用函数g为正。根据Perron-Frobenius定理（Krein＆Rutman，1950）的无限维扩展，可以得出一个唯一的正特征值—特征函数偶对，这也就提供了一种非参数点识别方法。另外，根据这种识别方法，Escanciano et al.（2013）也提出了一种估计边际效用函数g和贴现因子b的非参数估计量。