如何应用定理进行识别

为了说明本章上节所提出结构模型识别方法的应用，本节将分别讨论一种变量非线性联立方程组模型的识别、非线性函数形态的识别和非参数结构模型的识别。

（1）变量非线性联立方程组模型

假设非线性结构模型具有如下结构关系

显然，G＝3，K＝1，L＝10，其中L表示需要识别的结构系数个数。

利用定理4.2.2考察第一个方程中参数的可识别性，由于第一个方程中的参数在其余的方程中均未出现，则仅考察Θ1的秩就可以判断其可识别性，于是，

显然，G＝3，K＝1，L＝10，其中L表示需要识别的结构系数个数。

利用定理4.2.2考察第一个方程中参数的可识别性，由于第一个方程中的参数在其余的方程中均未出现，则仅考察Θ1的秩就可以判断其可识别性，于是，

根据定理4.2.2，如果rank（Θ1）＜4，则行列式＝0。于是，经过代数计算，可以得到下列等式

根据定理4.2.2，如果rank（Θ1）＜4，则行列式＝0。于是，经过代数计算，可以得到下列等式

为了简化表示，式子中的（·）均代表原结构方程参数的线性组合，并且其形式不影响参数的可识别性。

为了简化表示，式子中的（·）均代表原结构方程参数的线性组合，并且其形式不影响参数的可识别性。

显然，行列式＝0的唯一解是A＝B＝C＝D＝0。于是，在没有其他系数零约束的情况下，由C＝0可以得到，并且，由A＝0和D＝0可以分别得到和，而且，这时也保证了B＝0。另外，若假设结构方程组的冲击满足Eu＝0，则β10也是可识别的。由此可见，第一个方程的结构参数均可识别。同样，对于其他两个方程，也可以采用定理4.2.2判断其可识别性。

（2）识别函数形态

对于更一般的结构模型

显然，行列式＝0的唯一解是A＝B＝C＝D＝0。于是，在没有其他系数零约束的情况下，由C＝0可以得到，并且，由A＝0和D＝0可以分别得到和，而且，这时也保证了B＝0。另外，若假设结构方程组的冲击满足Eu＝0，则β10也是可识别的。由此可见，第一个方程的结构参数均可识别。同样，对于其他两个方程，也可以采用定理4.2.2判断其可识别性。

（2）识别函数形态

对于更一般的结构模型

显然，若假设hi为线性的、ui是独立同分布的，则模型退化为在系数排除约束下的标准线性联立方程组模型，其结构识别的方法不再赘述。若函数关系hi是关于变量非线性的，并且可以对其进行参数化设定，模型便退化为非线性参数模型，这时可直接应用定理4.2.1和定理4.2.2判断其可识别性。现在考虑更复杂的非参数情况。由于模型是非参数的，因此，结构识别关注的是函数的形态（shapes of the functions），而非参数，具体而言，模型识别的关键是能否确定函数hi的形态。

显然，若假设hi为线性的、ui是独立同分布的，则模型退化为在系数排除约束下的标准线性联立方程组模型，其结构识别的方法不再赘述。若函数关系hi是关于变量非线性的，并且可以对其进行参数化设定，模型便退化为非线性参数模型，这时可直接应用定理4.2.1和定理4.2.2判断其可识别性。现在考虑更复杂的非参数情况。由于模型是非参数的，因此，结构识别关注的是函数的形态（shapes of the functions），而非参数，具体而言，模型识别的关键是能否确定函数hi的形态。

对于第i个方程，假设x和y可分为两部分，并且令z＝，其中yi的第一个元素为yi。

对于第i个方程，假设x和y可分为两部分，并且令z＝，其中yi的第一个元素为yi。(www.xing528.com)

假设4.2.8：在的每个元素处处不为0。

假设4.2.8：在的每个元素处处不为0。

显然，hi可识别当且仅当对任意的都有。

利用定理4.2.1和定理4.2.2可以得到如下推论。

显然，hi可识别当且仅当对任意的都有。

利用定理4.2.1和定理4.2.2可以得到如下推论。

推论4.2.1：在假设2.1.1和假设4.2.1—4.2.8下，若对hi未施加其他任何的先验假设，hi可识别的必要条件是在RK+G上矩阵中各行元素不全为0。

显然，上述必要条件也可以表述为，对于所有的j＝1，2，…，G，（yj，xj，yj）中至少包含一个（xi，yi）中未包含的变量。

下面利用推论4.2.1考察非参数结构模型4.6的可识别性。

首先，h1是不可识别的。由于第二个方程中（y2，x，y3）都出现在h1中，显然，推论4.2.1的必要条件无法成立，在非参数情况下h1不可识别。然而，如果对h1做出适当的参数化设定，则h1可能会变为可识别的。可见，对于模型参数化的设定往往是出于研究需要，以简化模型识别和模型估计。

推论4.2.1：在假设2.1.1和假设4.2.1—4.2.8下，若对hi未施加其他任何的先验假设，hi可识别的必要条件是在RK+G上矩阵中各行元素不全为0。

显然，上述必要条件也可以表述为，对于所有的j＝1，2，…，G，（yj，xj，yj）中至少包含一个（xi，yi）中未包含的变量。

下面利用推论4.2.1考察非参数结构模型4.6的可识别性。

首先，h1是不可识别的。由于第二个方程中（y2，x，y3）都出现在h1中，显然，推论4.2.1的必要条件无法成立，在非参数情况下h1不可识别。然而，如果对h1做出适当的参数化设定，则h1可能会变为可识别的。可见，对于模型参数化的设定往往是出于研究需要，以简化模型识别和模型估计。

其次，h2满足推论4.2.1的必要条件。进一步地，若h2是线性的，可以利用定理4.2.1得出其不可识别。如果约束f对是完全非线性的，可以得到h2是可识别的。

最后，h3也满足推论4.2.1的必要条件。并且，在参数化的设定下，无论是线性还是非线性的，利用定理4.2.1都可得出h3是可识别的结果。

可见，非参数结构模型的识别较为复杂，如果没有对函数形态或者函数性质施加进一步的约束，很难确切判断结构模型的可识别性。为此，在下一节，本章将针对一个特殊的非参数结构模型——非参数欧拉方程模型，详细说明非参数结构识别的分析方法和过程。

其次，h2满足推论4.2.1的必要条件。进一步地，若h2是线性的，可以利用定理4.2.1得出其不可识别。如果约束f对是完全非线性的，可以得到h2是可识别的。

最后，h3也满足推论4.2.1的必要条件。并且，在参数化的设定下，无论是线性还是非线性的，利用定理4.2.1都可得出h3是可识别的结果。

可见，非参数结构模型的识别较为复杂，如果没有对函数形态或者函数性质施加进一步的约束，很难确切判断结构模型的可识别性。为此，在下一节，本章将针对一个特殊的非参数结构模型——非参数欧拉方程模型，详细说明非参数结构识别的分析方法和过程。