具有确定简化型的结构模型识别技术

虽然结构计量经济模型的设定依赖于经济理论，经济理论能够揭示经济变量间函数关系的一些性质，但是对模型的形式没有特别的规定。例如，模型的线性形式、参数化形式等。伴随着经济理论的发展，经济结构模型的形式不断拓展，使得其能够更好地拟合实际运行的经济系统。因此，随着结构模型形式的复杂化，模型识别的研究也更为困难。

由于不具有确定参数关系体系结构模型的复杂性，使得其无法通过数学推导和变换直接得到简化型，甚至无法确保简化型是唯一的。并且，通过上一节回顾非线性结构模型的识别方法以及非参数识别的成果，不难发现，对于具有确定简化型的结构模型，模型识别方法的分析思路不同于具有确定参数关系体系结构模型的识别方法。因此，必须直接从结构模型出发，寻找与原结构观测等价的结构，通过确定观测等价结构的性质实现识别结构模型的目的。本节将讨论存在唯一确定简化型的结构模型的识别，在下一章研究简化型不确定或不唯一结构模型的识别。

显然，对于存在唯一确定简化型的结构模型，例如上一节介绍的非线性模型和某些非参数结构模型，在结构模型的随机误差项满足一些基本假定时，内生变量关于先决变量的条件分布是唯一确定的。于是，基于内生变量的条件分布即可定义结构观测等价的概念、界定模型的可识别性。

为了行文方便、规范识别定理的表述，首先介绍一些概念和结构模型满足的一些基本假定。

设X和U分别是K维和G维的随机变量向量，定义在空间D上的随机向量（X，U）具有联合概率分布函数Φ，其中U为不可观测的随机变量。并且，f：RK×RG×RG→RG是感兴趣的结构关系（structural relationships），令B＝｛x，y，u：f（x，y，u）＝0，（x，u）∈D｝。那么，结构可以表示为结构关系和分布函数的组合，即S＝（f，Φ）。另外，对于结构S，设G维内生随机向量Y是隐函数f（X，Y，U）＝0的解。类似于上一节，若结构S和S*生成的观测变量（X，Y）的概率分布分别为Ψ和Ψ*，如果Ψ＝Ψ*，则结构S和S*是观测等价的。

为了讨论结构关系识别性，假设结构S＝（f，Φ）满足如下基本条件。

假设4.2.1：f在RK×RG×RG上是连续可微的。

假设4.2.2：矩阵的秩在RK×RG×RG上处处为G。

显然，在对结构参数模型的识别分析中，假设4.2.2等价于结构模型是完备的。

假设4.2.3：联合分布函数Φ在D上绝对连续，并且处处具有正密度。

假设4.2.4：X和U是相互独立的。

假设4.2.5：隐函数式f（X，Y，U）＝0存在唯一确定的解Y＝π（X，U）。

显然，假设4.2.5确保了结构模型具有确定的简化型。

假设2.1.1：存在函数π和g，使得对所有的（x，y，u）∈B，y＝π（x，u）和u＝g（x，y）。

假设4.2.6：在假设2.1.1以及假设4.2.1—4.2.5下，所有与结构S＝（f，Φ）有共同特性的结构S*＝（f*，Φ*）组成模型M。

由此可见，对于具有确定简化型的结构模型，结构识别的关键在于，能否利用可观测的信息以及先验约束，从模型M中确定真实的结构S。因此，若模型M中不存在与结构S＝（f，Φ）观测等价的其他结构，则结构S是可识别的。

对于给定的结构关系f，依据

定义映射F：RK×RG×RG×RG→R2G，并且记

对于每个结构S*＝（f*，Φ*）∈M，如果满足假设2.1.1和假设4.2.1—4.2.5的条件，则存在函数π*和g*使得y＝π*（x，u）和u＝g*（x，y）；f*在RK×RG×RG上连续可微，分布函数Φ*在D*上绝对连续，并且处处具有正密度。令

可见，识别结构关系f的本质是确定集合。显然，f是可识别的当且仅当若f*∈则f*＝f。为此，保证集合元素唯一的条件是结构模型的识别约束，寻找识别约束便是研究模型识别的核心任务。

为了证明识别定理，先证明下面三个引理。

引理4.2.1：对任意的f*∈Mf，存在一个随机向量U*，使得f*（X，Y，U*）＝0，并且存在映射p*：D→RG使得U*＝p*（X，U）。

证明：由假设2.1.1及假设4.2.6可知，对于任意的f*∈Mf和每个（x，y）∈E，

可见，识别结构关系f的本质是确定集合。显然，f是可识别的当且仅当若f*∈则f*＝f。为此，保证集合元素唯一的条件是结构模型的识别约束，寻找识别约束便是研究模型识别的核心任务。

为了证明识别定理，先证明下面三个引理。

引理4.2.1：对任意的f*∈Mf，存在一个随机向量U*，使得f*（X，Y，U*）＝0，并且存在映射p*：D→RG使得U*＝p*（X，U）。

证明：由假设2.1.1及假设4.2.6可知，对于任意的f*∈Mf和每个（x，y）∈E，

于是，定义了一个随机向量U*。

又由假设2.1.1得到y＝π（x，u），并带入上式，则

于是，定义了一个随机向量U*。

又由假设2.1.1得到y＝π（x，u），并带入上式，则

从而，定义了使得U*＝p*（X，U）的映射p*：D→RG。

引理4.2.2：设f*∈Mf，并且U*＝p*（X，U），Φ**为（X，U*）的分布函数，则结构S*＝（f*，Φ*）与结构S观测等价当且仅当Φ*＝Φ**。

证明：由于U*＝p*（X，U），根据假设2.1.1和假设4.2.5可知，存在唯一的映射π*使得

Y＝π*（X，U*）

又因为Φ**为（X，U*）的分布函数，则结构（f*，Φ**）与结构S观测等价。

已知π*（x，·）在其定义域上是唯一的一一映射，若Φ*≠Φ**，则结构（f*，Φ*）与结构S非观测等价，反之亦成立。

从而，定义了使得U*＝p*（X，U）的映射p*：D→RG。

引理4.2.2：设f*∈Mf，并且U*＝p*（X，U），Φ**为（X，U*）的分布函数，则结构S*＝（f*，Φ*）与结构S观测等价当且仅当Φ*＝Φ**。

证明：由于U*＝p*（X，U），根据假设2.1.1和假设4.2.5可知，存在唯一的映射π*使得

Y＝π*（X，U*）

又因为Φ**为（X，U*）的分布函数，则结构（f*，Φ**）与结构S观测等价。

已知π*（x，·）在其定义域上是唯一的一一映射，若Φ*≠Φ**，则结构（f*，Φ*）与结构S非观测等价，反之亦成立。

可见，引理4.2.1和引理4.2.2说明，对于任意的f*∈Mf形成的结构，有一部分是与结构S观测等价的，即为结构（f*，Φ**）。下面的引理将确定结构（f*，Φ**）是否属于集合。

记BB*＝｛（x，y，u，u*）：f（x，y，u）＝0，f*（x，y，u*）＝0，（x，u）∈D｝。

引理4.2.3：在假设2.1.1和假设4.2.1—4.2.6下，在BB*上rank（Λi）＜2G（i＝1，…，G）成立的充分必要条件是在D上处处有∂p*／∂x＝0。

可见，引理4.2.1和引理4.2.2说明，对于任意的f*∈Mf形成的结构，有一部分是与结构S观测等价的，即为结构（f*，Φ**）。下面的引理将确定结构（f*，Φ**）是否属于集合。(www.xing528.com)

记BB*＝｛（x，y，u，u*）：f（x，y，u）＝0，f*（x，y，u*）＝0，（x，u）∈D｝。

引理4.2.3：在假设2.1.1和假设4.2.1—4.2.6下，在BB*上rank（Λi）＜2G（i＝1，…，G）成立的充分必要条件是在D上处处有∂p*／∂x＝0。

证明：令A＝，根据假设4.2.2及假设4.2.6可知在BB*上。

证明：令A＝，根据假设4.2.2及假设4.2.6可知在BB*上。

对于任意给定的点（x0，y0，u0，）∈BB*，根据假设2.1.1及假设4.2.1，应用隐函数定理可知，在该点的一个邻域内，必然有y＝π（x，u），以及u*＝p*（x，u），并且，存在且连续。其中Aij为矩阵A的第（G+i）列用∂F／∂xj替换所得到的矩阵。

于是，由

rank（Λi）＜2G，i＝1，…，G

对于任意给定的点（x0，y0，u0，）∈BB*，根据假设2.1.1及假设4.2.1，应用隐函数定理可知，在该点的一个邻域内，必然有y＝π（x，u），以及u*＝p*（x，u），并且，存在且连续。其中Aij为矩阵A的第（G+i）列用∂F／∂xj替换所得到的矩阵。

于是，由

rank（Λi）＜2G，i＝1，…，G

可知，在D上处处都有／∂xj＝0，即充分性得证。

可知，在D上处处都有／∂xj＝0，即充分性得证。

并且，若＞0且rank（Λi）＜2G，i＝1，…，G，则存在j使得＞0，故必要性得证。

并且，若＞0且rank（Λi）＜2G，i＝1，…，G，则存在j使得＞0，故必要性得证。

此时，运用上述三个引理，可以证明得出如下的识别定理。

此时，运用上述三个引理，可以证明得出如下的识别定理。

定理4.2.1：在假设2.1.1以及假设4.2.1—4.2.6的条件下，f*∈当且仅当f*∈Mf并且在BB*上满足秩条件rank（Λi）＜2G，i＝1，…，G。

定理4.2.1：在假设2.1.1以及假设4.2.1—4.2.6的条件下，f*∈当且仅当f*∈Mf并且在BB*上满足秩条件rank（Λi）＜2G，i＝1，…，G。

证明：若f*∈Mf，由引理4.2.1和引理4.2.2可知，U*＝p*（X，U）以及结构（f*，Φ**）与结构S观测等价，其中Φ**为（X，U*）的分布函数。又根据引理4.2.3可知，U*满足与X相互独立，因此（f*，Φ**）∈M，则f*∈，充分性得证。

证明：若f*∈Mf，由引理4.2.1和引理4.2.2可知，U*＝p*（X，U）以及结构（f*，Φ**）与结构S观测等价，其中Φ**为（X，U*）的分布函数。又根据引理4.2.3可知，U*满足与X相互独立，因此（f*，Φ**）∈M，则f*∈，充分性得证。

若f*∈，显然f*∈Mf，若存在U*＝p*（X，U）及（X，U*）的分布函数Φ**，使得结构（f*，Φ**）与结构S观测等价，则由U*与X相互独立，可得到∂p*／∂x＝0。根据引理4.2.3可知，∂p*／∂x＝0等价于在BB*上满足秩条件rank（Λi）＜2G，i＝1，…，G。于是必要性得证。

若f*∈，显然f*∈Mf，若存在U*＝p*（X，U）及（X，U*）的分布函数Φ**，使得结构（f*，Φ**）与结构S观测等价，则由U*与X相互独立，可得到∂p*／∂x＝0。根据引理4.2.3可知，∂p*／∂x＝0等价于在BB*上满足秩条件rank（Λi）＜2G，i＝1，…，G。于是必要性得证。

实际上，当K＞0时，秩条件rank（Λi）＜2G，i＝1，…，G等价于＝0，j＝1，…，K。

进一步地，本章设定了一个在经济学模型中较为广泛应用的一个假设，并且在这个附加假设条件下，讨论一个更加便于应用的识别定理。

假设4.2.7：对于所有的f*∈Mf，满足f*（x，y，u）＝g*（x，y）-u。

显然，在本章第4.3中研究的冲击模型满足假设4.2.7。

实际上，当K＞0时，秩条件rank（Λi）＜2G，i＝1，…，G等价于＝0，j＝1，…，K。

进一步地，本章设定了一个在经济学模型中较为广泛应用的一个假设，并且在这个附加假设条件下，讨论一个更加便于应用的识别定理。

假设4.2.7：对于所有的f*∈Mf，满足f*（x，y，u）＝g*（x，y）-u。

显然，在本章第4.3中研究的冲击模型满足假设4.2.7。

定理4.2.2：在假设2.1.1以及假设4.2.1—4.2.7的条件下，对于任意的f*∈Mf，在BB*上秩条件rank（Θi）＜G+1，i＝1，…，G，成立的充分必要条件是在BB*上处处都有（，-1）Θi＝0。

定理4.2.2：在假设2.1.1以及假设4.2.1—4.2.7的条件下，对于任意的f*∈Mf，在BB*上秩条件rank（Θi）＜G+1，i＝1，…，G，成立的充分必要条件是在BB*上处处都有（，-1）Θi＝0。

证明：显然，若（-1，）Θi＝0，则秩条件rank（Θi）＜G+1成立，即充分性得证。

证明：显然，若（-1，）Θi＝0，则秩条件rank（Θi）＜G+1成立，即充分性得证。

由于f*∈Mf及假设4.2.7，可令u*＝p*（x，y）＝g*（x，y），注意到

由于f*∈Mf及假设4.2.7，可令u*＝p*（x，y）＝g*（x，y），注意到

若秩条件rank（Θi）＜G+1，i＝1，…，G，成立，则有rank（Λi）＜2G，根据引理4.2.3，可得∂p*／∂x＝0，则

若秩条件rank（Θi）＜G+1，i＝1，…，G，成立，则有rank（Λi）＜2G，根据引理4.2.3，可得∂p*／∂x＝0，则

则必要性得证。

则必要性得证。

事实上，当K＞0时，秩条件rank（Θi）＜G+1，i＝1，…，G等价于，j＝1，…，K。

显然，定理4.2.1和定理4.2.2可以用于判断满足假设条件的所有结构模型的可识别性，是一般性的识别定理。并且，同第3章的定理3.2.1类似，定理4.2.1和定理4.2.2对结构模型的形式及识别约束的形式并没有施加特殊的限制，只要结构模型具有唯一确定的简化型，就可以利用这两个定理判断结构模型的可识别性。

虽然定理4.2.1和定理4.2.2并没有涉及模型参数化设定的要求，在理论上可以判定任何具有确定简化型的非参数结构模型和半参数结构模型的可识别性。但是，在实际应用中对于复杂的非参数结构模型，由于难以直接确定或计算矩阵Λi，或者矩阵Θi的秩。在应用识别定理时，还需要针对结构模型施加一些特殊的约束条件，以方便于判断或计算秩条件。显然，对一般的非参数结构模型施加哪些特殊的约束仍然是非参数识别研究面临的难点，它也是目前非参数结构识别研究的热点问题和前沿所在。

事实上，当K＞0时，秩条件rank（Θi）＜G+1，i＝1，…，G等价于，j＝1，…，K。

显然，定理4.2.1和定理4.2.2可以用于判断满足假设条件的所有结构模型的可识别性，是一般性的识别定理。并且，同第3章的定理3.2.1类似，定理4.2.1和定理4.2.2对结构模型的形式及识别约束的形式并没有施加特殊的限制，只要结构模型具有唯一确定的简化型，就可以利用这两个定理判断结构模型的可识别性。

虽然定理4.2.1和定理4.2.2并没有涉及模型参数化设定的要求，在理论上可以判定任何具有确定简化型的非参数结构模型和半参数结构模型的可识别性。但是，在实际应用中对于复杂的非参数结构模型，由于难以直接确定或计算矩阵Λi，或者矩阵Θi的秩。在应用识别定理时，还需要针对结构模型施加一些特殊的约束条件，以方便于判断或计算秩条件。显然，对一般的非参数结构模型施加哪些特殊的约束仍然是非参数识别研究面临的难点，它也是目前非参数结构识别研究的热点问题和前沿所在。