线性动态系统的可识别性与结构参数的关系

假定通货膨胀率的预期偏差是内生的，即在理性预期假设下首先利用Et｛πt+1｝＝πt消去期望算子；然后，对对数线性化的DSGE模型进行整理，消去变量ct、mt、wt、pt及nt，得到了产出、就业、名义利率等变量之间的动态均衡关系，即如下的系数非线性的线性动态系统：

可见，若结构模型（3.33）通过计算可以直接得出简化型的表达式，即可得到结构参数与简化型参数的参数关系体系，直接利用定理3.2.1即可判断该系数非线性动态系统的可识别性。进一步地，通过计算偏导矩阵，在模型不可识别的情况下能够得出需要增加的约束个数，并根据需要对结构参数施加约束，使得模型满足可识别的秩条件。这个判断过程即是对简单的DSGE模型参数可识别性讨论的一种方法，计算过程和判断过程较为复杂。本章将分别给出应用秩条件定理判断简化的线性系统及系数非线性动态系统的可识别性的过程。

将结构模型（3.33）改写为线性动态系统的形式为

可见，若结构模型（3.33）通过计算可以直接得出简化型的表达式，即可得到结构参数与简化型参数的参数关系体系，直接利用定理3.2.1即可判断该系数非线性动态系统的可识别性。进一步地，通过计算偏导矩阵，在模型不可识别的情况下能够得出需要增加的约束个数，并根据需要对结构参数施加约束，使得模型满足可识别的秩条件。这个判断过程即是对简单的DSGE模型参数可识别性讨论的一种方法，计算过程和判断过程较为复杂。本章将分别给出应用秩条件定理判断简化的线性系统及系数非线性动态系统的可识别性的过程。

将结构模型（3.33）改写为线性动态系统的形式为

其中对数产出yt、名义利率it以及通货膨胀率πt是内生变量；先决变量分别为技术进步水平at-1和货币政策vt-1；ε1t～i.i.d.N分别为相互独立的外生技术冲击和货币政策冲击，而ε3t～i.i.d.N是ε1t与ε2t的线性组合。需要注意的是，该DSGE模型中包含的独立冲击个数少于内生变量个数，称该类模型为奇异的（singular）DSGE模型。可见，简写后的线性系统（3.34）可以看作线性联立方程组模型。另外，线性系统（3.34）变量的系数中，一部分是模型设定和推导中初始设定的参数，例如γ11＝-ρα、β23＝-φπ等，这些参数都具有明确的经济意义；另一部分则是初始参数的组合，并且往往是非线性的组合。我们很期待能够得出初始设定参数的数值，以便对经济整体的运行有更为清晰的认识，但遗憾的是，在许多实证研究中，我们甚至无法通过观测数据得出线性系统（3.34）中所有参数的确切估计，从而更无法还原模型的初始参数。

本节首先运用定理3.2.1的秩条件来判别线性系统（3.34）的结构参数在系数的标准化约束和排除约束（exclusion restriction）、冲击的不相关约束、方差—协方差约束以及系数的非线性约束下的可识别性。

（1）对结构参数的约束

首先，根据结构模型（3.34）的设置，得到系数的标准化约束及排除约束为：

其中对数产出yt、名义利率it以及通货膨胀率πt是内生变量；先决变量分别为技术进步水平at-1和货币政策vt-1；ε1t～i.i.d.N分别为相互独立的外生技术冲击和货币政策冲击，而ε3t～i.i.d.N是ε1t与ε2t的线性组合。需要注意的是，该DSGE模型中包含的独立冲击个数少于内生变量个数，称该类模型为奇异的（singular）DSGE模型。可见，简写后的线性系统（3.34）可以看作线性联立方程组模型。另外，线性系统（3.34）变量的系数中，一部分是模型设定和推导中初始设定的参数，例如γ11＝-ρα、β23＝-φπ等，这些参数都具有明确的经济意义；另一部分则是初始参数的组合，并且往往是非线性的组合。我们很期待能够得出初始设定参数的数值，以便对经济整体的运行有更为清晰的认识，但遗憾的是，在许多实证研究中，我们甚至无法通过观测数据得出线性系统（3.34）中所有参数的确切估计，从而更无法还原模型的初始参数。

本节首先运用定理3.2.1的秩条件来判别线性系统（3.34）的结构参数在系数的标准化约束和排除约束（exclusion restriction）、冲击的不相关约束、方差—协方差约束以及系数的非线性约束下的可识别性。

（1）对结构参数的约束

首先，根据结构模型（3.34）的设置，得到系数的标准化约束及排除约束为：

其次，根据Gali文中模型推导过程中的假设可知，ε1t为外生的技术进步冲击，ε2t为外生的货币政策冲击，则ε1t与ε2t不相关，由此得到冲击不相关的约束为：

其次，根据Gali文中模型推导过程中的假设可知，ε1t为外生的技术进步冲击，ε2t为外生的货币政策冲击，则ε1t与ε2t不相关，由此得到冲击不相关的约束为：

由前文可知，Fisher（1959）在Koopmans et al.（1950）讨论的基础上加入了这类约束，得到了线性联立方程组模型可识别的广义秩条件。但由于检验时对每个不相关约束都需要重新排列方程并计算矩阵∑2，这种识别方法并没有得到广泛的应用。而之后Hausman＆Taylor（1983）提出的方差—协方差约束包含了Fisher的这种约束。

再次，在模型推导过程中，假定技术进步率服从AR（1）过程：at＝ρa at-1+ε1t，若对外生的技术进步冲击ε1t的方差给出约束，即：

由前文可知，Fisher（1959）在Koopmans et al.（1950）讨论的基础上加入了这类约束，得到了线性联立方程组模型可识别的广义秩条件。但由于检验时对每个不相关约束都需要重新排列方程并计算矩阵∑2，这种识别方法并没有得到广泛的应用。而之后Hausman＆Taylor（1983）提出的方差—协方差约束包含了Fisher的这种约束。

再次，在模型推导过程中，假定技术进步率服从AR（1）过程：at＝ρa at-1+ε1t，若对外生的技术进步冲击ε1t的方差给出约束，即：

显然，式（3.36）与式（3.37）均为Hausman＆Taylor（1983）讨论的方差—协方差约束。

最后，我们通过非线性系统（3.33）对应线性系统（3.34）的系数可以得出：

这类约束属于对结构模型（3.34）系数的非线性约束，目前没有文献在讨论识别性时加入过此类约束。至此，式（3.35）—（3.38）给出了对结构参数的全部约束，接下来将应用定理3.2.1讨论结构模型（3.34）的可识别性。

（2）应用秩条件定理讨论模型的可识别性

为了计算简便，这里可以应用推论3.2.1检验结构模型（3.34）的可识别性。令

这类约束属于对结构模型（3.34）系数的非线性约束，目前没有文献在讨论识别性时加入过此类约束。至此，式（3.35）—（3.38）给出了对结构参数的全部约束，接下来将应用定理3.2.1讨论结构模型（3.34）的可识别性。

（2）应用秩条件定理讨论模型的可识别性

为了计算简便，这里可以应用推论3.2.1检验结构模型（3.34）的可识别性。令

因此，根据推论3.2.1，结构模型（3.34）中的每个方程均可识别，即结构模型（3.34）可识别。并且，本章沿用大部分识别文献中的相关定义，第一个方程和第二个方程为过度识别，第三个方程为恰好识别。^[4]

（3）与传统识别方法的比较研究

对于结构模型（3.34），前文已分别介绍了Koopmans et al.（1950）、Fisher（1959）以及Hausman＆Taylor（1983）所讨论的识别约束，即式（3.35）—（3.37）约束中的一种或几种。下面讨论在这些约束下，结构模型（3.34）的可识别性。

首先，Koopmans et al.（1950）讨论了在约束式（3.35）下结构模型的可识别性，即经典的线性联立方程组模型可识别的秩条件定理。根据Koopmans et al.的秩条件定理，显然有：

因此，根据推论3.2.1，结构模型（3.34）中的每个方程均可识别，即结构模型（3.34）可识别。并且，本章沿用大部分识别文献中的相关定义，第一个方程和第二个方程为过度识别，第三个方程为恰好识别。^[4]

（3）与传统识别方法的比较研究

对于结构模型（3.34），前文已分别介绍了Koopmans et al.（1950）、Fisher（1959）以及Hausman＆Taylor（1983）所讨论的识别约束，即式（3.35）—（3.37）约束中的一种或几种。下面讨论在这些约束下，结构模型（3.34）的可识别性。(www.xing528.com)

首先，Koopmans et al.（1950）讨论了在约束式（3.35）下结构模型的可识别性，即经典的线性联立方程组模型可识别的秩条件定理。根据Koopmans et al.的秩条件定理，显然有：

此时，仅有第二个方程是可识别的。即由Koopmans et al.的秩条件定理可知，仅有第二个方程是可识别的，并且结构模型（3.34）整体不可识别。

其次，当加入冲击不相关的约束，即同时考虑约束式（3.35）和式（3.36）时，此时增加的约束不改变第二个方程的可识别性，仅需要重新检验第一个方程。根据Fisher（1959）给出的广义秩条件定理，可以得到：

此时，仅有第二个方程是可识别的。即由Koopmans et al.的秩条件定理可知，仅有第二个方程是可识别的，并且结构模型（3.34）整体不可识别。

其次，当加入冲击不相关的约束，即同时考虑约束式（3.35）和式（3.36）时，此时增加的约束不改变第二个方程的可识别性，仅需要重新检验第一个方程。根据Fisher（1959）给出的广义秩条件定理，可以得到：

显然，此时不满足可识别的广义秩条件，依然是仅有第二个方程是可识别的，结构模型（3.34）整体不可识别。

最后，Hausman＆Taylor（1983）讨论的是在约束式（3.35）—（3.37）下结构模型的可识别性。此时第二个方程和第三个方程的识别性不变，根据Hausman＆Taylor（1983）给出的秩条件定理，对第一个方程，可以得到：

显然，此时不满足可识别的广义秩条件，依然是仅有第二个方程是可识别的，结构模型（3.34）整体不可识别。

最后，Hausman＆Taylor（1983）讨论的是在约束式（3.35）—（3.37）下结构模型的可识别性。此时第二个方程和第三个方程的识别性不变，根据Hausman＆Taylor（1983）给出的秩条件定理，对第一个方程，可以得到：

此时，第一个方程满足Hausman＆Taylor（1983）给出的秩条件，即第一个方程和第二个方程可以识别，第三个方程依然不可识别。

可见，应用上述三种识别方法判断结构模型（3.34）的可识别性，结论均为模型整体不可识别。当应用Koopmans et al.（1950）以及Fisher（1959）的秩条件定理时，仅有第二个方程可以识别；当应用Hausman＆Taylor（1983）的秩条件定理时，第一个方程和第二个方程可以识别，第三个方程不可识别。

然而，当应用本章的秩条件定理时，在对结构参数的施加约束式（3.35）—（3.38）的条件下，结构模型（3.34）的每一个方程都可识别，即结构模型整体可识别，进而可以运用适当的估计方法对模型参数进行估计并给出相应的分析。

（4）非线性系统的可识别性

上文给出的是针对改写过后的线性动态系统（3.34）的可识别性的研究，然而，在实证经济研究中，由于系数非线性系统（3.33）的结构参数都具有重要的经济意义，研究者们往往更为关注系数非线性系统（3.33）中结构参数的可识别性。

系数非线性系统（3.33）的表达式为：

此时，第一个方程满足Hausman＆Taylor（1983）给出的秩条件，即第一个方程和第二个方程可以识别，第三个方程依然不可识别。

可见，应用上述三种识别方法判断结构模型（3.34）的可识别性，结论均为模型整体不可识别。当应用Koopmans et al.（1950）以及Fisher（1959）的秩条件定理时，仅有第二个方程可以识别；当应用Hausman＆Taylor（1983）的秩条件定理时，第一个方程和第二个方程可以识别，第三个方程不可识别。

然而，当应用本章的秩条件定理时，在对结构参数的施加约束式（3.35）—（3.38）的条件下，结构模型（3.34）的每一个方程都可识别，即结构模型整体可识别，进而可以运用适当的估计方法对模型参数进行估计并给出相应的分析。

（4）非线性系统的可识别性

上文给出的是针对改写过后的线性动态系统（3.34）的可识别性的研究，然而，在实证经济研究中，由于系数非线性系统（3.33）的结构参数都具有重要的经济意义，研究者们往往更为关注系数非线性系统（3.33）中结构参数的可识别性。

系数非线性系统（3.33）的表达式为：

显然，对于该结构模型，其结构参数为θ＝（σ，α，φ，ω，φπ，ρa，ρv，vec（∑）′）′。将内生变量（yt，it，πt）′表示为先决变量（at-1，vt-1）′的组合的形式，则可得到该结构模型的简化型为：

显然，对于该结构模型，其结构参数为θ＝（σ，α，φ，ω，φπ，ρa，ρv，vec（∑）′）′。将内生变量（yt，it，πt）′表示为先决变量（at-1，vt-1）′的组合的形式，则可得到该结构模型的简化型为：

下面应用定理3.2.1讨论原结构参数的可识别性。由于模型系数为非线性，无法直接得到简化型的方差—协方差矩阵关于结构型的方差—协方差矩阵的对应关系，因此，这里只讨论系数的对应关系体系。显然，若结构参数的子集θ1＝（σ，α，φ，ω，φπ，ρa，ρv）′可识别，则结构模型参数θ可识别。^[5]若讨论非线性动态系统在系数约束以及冲击的随机约束下的可识别性，需要采用非参数识别及DSGE模型动态识别的方法。本章只讨论对于确定的参数关系体系，如何应用定理3.2.1讨论参数的可识别性。

下面应用定理3.2.1讨论原结构参数的可识别性。由于模型系数为非线性，无法直接得到简化型的方差—协方差矩阵关于结构型的方差—协方差矩阵的对应关系，因此，这里只讨论系数的对应关系体系。显然，若结构参数的子集θ1＝（σ，α，φ，ω，φπ，ρa，ρv）′可识别，则结构模型参数θ可识别。^[5]若讨论非线性动态系统在系数约束以及冲击的随机约束下的可识别性，需要采用非参数识别及DSGE模型动态识别的方法。本章只讨论对于确定的参数关系体系，如何应用定理3.2.1讨论参数的可识别性。

记λ1、λ2对θ1中每个元素的偏导分别为，若不考虑对θ1中的元素施加约束，则有：

记λ1、λ2对θ1中每个元素的偏导分别为，若不考虑对θ1中的元素施加约束，则有：

显然此时rank[W]＝6，而θ1＝（σ，α，φ，ω，φπ，ρa，ρv）′维数为7，根据定理3.2.1，可知θ1不可识别，若要使得θ1可识别，至少需要对其中的元素施加一个约束。此时，可以根据Rothenberg（1971）的秩条件定理^[6]检验θ1中各个元素的可识别性，可以发现模ρa是不可识别的。由于模型假定外生的技术进步率服从AR（1）过程at＝ρa at-1+ε1t，若能够先验获知ρa的数值，则在该结构模型中可以加入对ρa的确定约束，即ρa＝c，c为不等于零的常数^[7]，可以得到W*＝，并且rank［W*］＝7。根据定理3.2.1，此时θ1可识别，并且原结构模型（3.33）的结构参数θ可识别。

注意到，若加入约束ρa＝c，等价于对之前讨论的线性系统（3.34）加入约束γ11＝c。并且，由非线性系统中系数的表达式对应线性系统的系数可以得到γ31β11＝ρa＝c，这是对线性系统加入的非线性约束。当加入这两个约束后，对于线性系统（3.34），此时有：

显然此时rank[W]＝6，而θ1＝（σ，α，φ，ω，φπ，ρa，ρv）′维数为7，根据定理3.2.1，可知θ1不可识别，若要使得θ1可识别，至少需要对其中的元素施加一个约束。此时，可以根据Rothenberg（1971）的秩条件定理^[6]检验θ1中各个元素的可识别性，可以发现模ρa是不可识别的。由于模型假定外生的技术进步率服从AR（1）过程at＝ρa at-1+ε1t，若能够先验获知ρa的数值，则在该结构模型中可以加入对ρa的确定约束，即ρa＝c，c为不等于零的常数^[7]，可以得到W*＝，并且rank［W*］＝7。根据定理3.2.1，此时θ1可识别，并且原结构模型（3.33）的结构参数θ可识别。

注意到，若加入约束ρa＝c，等价于对之前讨论的线性系统（3.34）加入约束γ11＝c。并且，由非线性系统中系数的表达式对应线性系统的系数可以得到γ31β11＝ρa＝c，这是对线性系统加入的非线性约束。当加入这两个约束后，对于线性系统（3.34），此时有：

可得到＝3。显然，根据推论3.2.1，方程1、3可识别。由于之前已经检验得知方程2可识别，则线性系统（3.34）可识别。

可得到＝3。显然，根据推论3.2.1，方程1、3可识别。由于之前已经检验得知方程2可识别，则线性系统（3.34）可识别。