线性变换与秩-零化度定理

对于线性变换的基本概念，本书在此不再赘述。记线性变换L：Rn→Rm，根据线性变换的定义可知，线性变换必须是可加的，即L（x+y）＝L（x）+L（y）。并且，线性变换是数乘不变的，即L（λx）＝λL（x）。进一步地，若L是一个线性变换，则必然有L（0）＝0，及L（x）＝-L（-x）。

定理2.2.4：若L：Rn→Rm为线性变换，则

（ⅰ）若V是Rn的一个子空间，那么L（V）是Rm的一个子空间；

（ⅱ）若S是Rm的一个子空间，那么L-1（S）是Rn的一个子空间。

特别地，定理2.2.4表明，L的像空间记作R（L）≡L（Rn），是Rm的一个子空间，并且，L的零空间记作N（L）≡L-1（｛0｝）是Rn的一个子空间。

当线性变换L的像空间等于L的值域，即当R（L）≡L（Rn）＝Rm时，称L为线性映射。当L是有限维的，其像空间的维数即为线性变换L的秩。

定义2.2.12：若L：Rn→Rm是一个线性变换，则称L的像空间的维度为L的秩，即(www.xing528.com)

rank（L）＝dim（R（L））

特别地，线性变换的核（即零空间N（L））的维度被称为零化度，下面给出秩—零化度定理。

定理2.2.5（秩—零化度定理）：若L：Rn→Rm是一个线性变换，则

dim（N（L））+dim（R（L））＝n

事实上，运用定理2.2.5还可以进一步地得出，对于任意线性变换L：Rn→Rm，L是一一映射⇔L是满射的⇔L是可逆的。并且，由此可以得出一个检验L可逆性的简单准则，即L是可逆的⇔N（L）＝｛0｝。