多指标函数型主成分分析综合评价方法介绍

对于多指标面板数据，主要区分以下三个问题^[4]（王桂明，2011）：

（1）对三个数据维（指标维、样本维、时间维）分别单独施行PCA（主成分分析）；

（2）对三个数据维中的任意两个数据维合并的组合变量施行PCA；

（3）对三个数据维同时施行PCA。

当时间维较高或趋于无穷时，离散的主成分分析方法就不再适用了，此时需要基于函数视角，进而需要研究多指标函数型主成分分析（FPCA），以解决函数型数据下的综合评价问题。由于这里的函数型主成分分析（FPCA）主要研究综合评价实际中的应用，故而不涉及基于样本维的主成分分析，因此我们主要研究基于时间维和基于指标维及其合并而成的组合变量施行函数型主成分分析（FPCA）的问题。

一、基于组合变量的多指标函数型主成分分析

（一）离散的组合变量多元PCA

多指标面板数据不仅存在着指标之间的相关关系，而且每个指标下的观测值也存在着时间上的相关关系。

（5）计算主成分函数ξi（t），具体算法如下^[5]：

（二）组合变量的多元FPCA

设多指标函数型数据已经经过标准化处理，则类似于离散多指标面板数据的情形，对于多指标函数型数据，假设特征函数为m维函数ξi（t）=（ξi1（t），…，ξim（t））T，此时m×m阶指标的样本自协方差——交叉方差矩阵函数为：

当r=l时，式（2-21）为（2-22）中对角线上指标自身的样本自协方差函数，当r≠l时，表示不同指标之间的样本交叉协方差函数，反映了不同指标之间的交互作用信息，所以（2-21）包含了指标内部及指标之间的全部变异信息。

②利用Cholesky分解计算WΦ；

且

④计算Bi，进而求出ξi（t）（ξi（t）=Φ（t）TBi）。(www.xing528.com)

（6）构造评价函数（同上）。

【注释】

[1]传统的多指标综合评价表中，每个评价对象（系统）的每个指标取值为点值，本书中的每个指标均为函数形式。函数型数据综合评价与传统的综合评价的定义，主要区别是：指标由点值变为函数，权数也由点值扩展为函数形式。特别是权数在一段时间内，可能是连续变化的函数，也可能是逐段变化的，也可能是不变的。

[2]函数型数据综合评价与传统的综合评价的定义，主要区别是：指标由点值变为函数，权数也由点值扩展为函数形式，特别是这种函数在一段时间内，可能是连续变化的函数，也可能是逐段变化的，也可能是不变的。

[3]见笔者的论文《一种基于函数型数据的综合评价方法研究》，《统计研究》2013年第2期，具体实证分析参见该文。

[4]王桂明：《函数数据的多元统计分析及其在证券投资分析中的应用》，厦门大学博士论文，2011。该论文对函数型主成分分析进行了详细的研究，本课题针对综合评价的特点，将其中的组合变量的多元函数型主成分分析引入综合评价中，并提出了评价方法。进一步提出了基于重要性加权的组合变量的多元函数型主成分分析方法用于综合评价中。

（三）基函数下组合变量的多元FPCA